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[几何] 以过焦点的弦为直径的圆与抛物线至少有三个交点

题如附件图。
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常规的代数方法没什么难度吧……

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话说,计算临界位置还是可以用更好玩的方式来玩的。

引理:如图,抛物线上弦 $AB$ 过焦点 $F$,$M$ 为 $AB$ 中点,$MH$ 垂直于准线,垂足为 $H$,$N$ 为 $MH$ 的中点,则 $N$ 在抛物线上,且 $N$ 处的切线平行于 $AB$。

捕获1.PNG
2017-12-16 15:29


引理的证明:熟知 $FH\perp AB$,故 $FN=NH$,所以 $N$ 在抛物线上;由光学性质知 $N$ 处的切线平分 $\angle FNH$,故垂直于 $FH$,所以平行于 $AB$,引理得证。

回到原题,临界位置就是以 $AB$ 为直径的圆与抛物线相切时,设切点为 $C$,如下图。

捕获3.PNG
2017-12-16 15:29


用曲线系方法容易证明:标准方程圆锥曲线上的四点共圆等价于对边斜率互反(见《撸题集》P697 或 P839)。
而相切即为其中两点重合的退化情形,即上图中将会有 $C$ 处切线斜率与 $AB$ 的斜率互反,根据前面的引理,即 $C$, $N$ 两处的切线斜率互反,从而有 $CN$ 垂直平分 $MH$,由此得到 $\triangle CMH$ 为等边三角形,所以 $C$ 处切线斜率为 $-\sqrt3$,即 $AB$ 的斜率为 $\sqrt3$。

另外,因 $CA$ 与 $CB$ 的斜率互反,又 $CA\perp CB$,于是两者的斜率必为 $\pm1$,由此可知这个直角三角形的两锐角为 $15\du$ 和 $75\du$。另另外还可以知道 $AB$ 垂直平分 $CH$,垂足就是 $F$。
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回复 3# kuing


    临界值果然有看头,厉害厉害。临场只会四次方程韦达定理求重根。

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还是补写一下常规代数解法吧……

设 $A(a,a^2)$, $B(b,b^2)$,另一公共点为 $C(c,c^2)$,由 $AB$ 过 $F$ 得
\[\frac {a^2-\frac 14}a=\frac {b^2-\frac 14}b\riff ab=-\frac 14,\]
由 $AC\perp BC$ 得
\[(a-c)(b-c)+(a^2-c^2)(b^2-c^2)=0\riff 1+(a+c)(b+c)=0,\]
故此关于 $c$ 的判别式有
\[\Delta =(a+b)^2-4(ab+1)=(a+b)^2-3\geqslant 0,\]
从而
\[\abs{k_{AB}}=\left| \frac {a^2-b^2}{a-b} \right|=\abs{a+b}\geqslant\sqrt3,\]
取等略。

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本帖最后由 isee 于 2017-12-17 11:19 编辑

回复 5# kuing


    我太“愚蠢”了。。。。。。这个整理真强$(a-c)(b-c)+(a^2-c^2)(b^2-c^2)=0\riff 1+(a+c)(b+c)=0$,二次判别式学习了。。。。

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很普通的代数方法一样搞定。设直线方程联立,得到焦点弦为直径的圆的方程。再将圆方程与抛物线联立,得到一个关于x的四次方程,对于这个四次方程注意它一定可以分解这样的因式:直线与抛物线相交的关于x的一元二次式,再待定求出另外一个关于x的式子:$x^2+kx+\dfrac{3}{4}$,显然此式的判别式需要大于等于0,则得:答案C。

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回复 7# 敬畏数学

厉害厉害,更厉害的是还打一个公式!

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回复 8# isee

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回复 3# kuing


    P839 拜读了,,,E点那行“不同为零”,我怎么觉得就是两个均不能为零呢?
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回复 10# isee

其一为零是有可能的啊

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回复 8# isee
这个有错误吗?请指出。

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回复 11# kuing


    是我想错了。

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回复  isee
这个有错误吗?请指出。
敬畏数学 发表于 2017-12-17 16:35


没有。8楼是陈述句。难得楼主打个LaTeX代码。。。

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