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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 求线段长度之比
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发表于 2017-12-10 21:27
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[几何]
求线段长度之比
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2017-12-10 21:18
如上图,O 是三角形 ABC 内部的一点,已知 △OAB 面积是 60,△OAC 面积是 30,△OBC 面积是 120。
另外,D 在 AB 上,AD 与 DB 的长度之比是 3:2;E 在 AC 上,AE 与 EC 的长度之比是 2:1。连接 DE 交
OB 于 M,交 OC 于 N。
问:(1) OM:MB=? (2) △OMN 的面积是多少?
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发表于 2017-12-11 08:06
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这道题是 2017 年大师赛五年级二试题。我做了半天也没有找到门路。
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TSC999
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发表于 2017-12-11 10:54
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本帖最后由 TSC999 于 2017-12-11 10:56 编辑
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2017-12-11 10:53
上面这题做是能做出来的。不过我用的方法很多,等高模型、燕尾模型、鸟头模型、相乘模型、解方程,都用到了。这叫使出浑身解数,或是拿出十八般兵器,才解出的。所以是小题大做了,虽然这些方法都是小学五年级奥数范围,但是我想一定还有简单巧妙的解法。
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发表于 2017-12-11 17:30
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延长 $BO$ 交 $AC$ 于 $F$,作 $FG\px DE$ 交 $AB$ 于 $G$。
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2017-12-11 17:29
因为 $AF:FC=\S{OAB}:\S{OBC}=1:2$,而 $AE:EC=2:1$,故 $AF:FE=1:1$,即 $AG:GD=1:1$,而 $AD:DB=3:2$,故 $GD:DB=1.5:2$,即 $FM:MB=3:4$,又 $FO:FB=\S{OAC}:\S{ABC}=1:7$,由此可得 $OM:MB=1:2$。
用同样的方法可以证明 $ON:NC=2:3$,那么 $\S{OMN}:\S{OBC}=(1:3)\times(2:5)=2:15$,所以 $\S{OMN}=16$。
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TSC999
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发表于 2017-12-12 09:59
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楼上的版主解法简明,尽管计算过程省略了许多,但至少不用解方程了。
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发表于 2017-12-13 23:49
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来写个高中解法,三个面积知道,根据那个经典FAQ,来试试向量解。
不妨设 $\vv {OA}=\bm a$, $\vv {OB}=\bm b$, $\vv {OC}=\bm c$,则有
\[120\bm a+30\bm b+60\bm c=\bm 0\iff \bm a=-\frac 14\bm b-\frac 12\bm c,\]
那么
\begin{align*}
\vv {OD}&=\frac 25\bm a+\frac 35\bm b=\frac 12\bm b-\frac 15\bm c,\\
\vv {OE}&=\frac 13\bm a+\frac 23\bm c=-\frac 1{12}\bm b+\frac 12\bm c,
\end{align*}
设 $P$ 为直线 $DE$ 上任意一点,则
\[\vv {OP}=\lambda \vv {OD}+(1-\lambda )\vv {OE}=\left( \frac 7{12}\lambda -\frac 1{12} \right)\bm b+\left( -\frac 7{10}\lambda +\frac 12 \right)\bm c,\]
于是,令
\begin{gather*}
-\frac 7{10}\lambda +\frac 12=0\riff \lambda =\frac 57\riff \frac 7{12}\lambda -\frac 1{12}=\frac 13\riff \vv {OM}=\frac 13\bm b,\\
\frac 7{12}\lambda -\frac 1{12}=0\riff \lambda =\frac 17\riff -\frac 7{10}\lambda +\frac 12=\frac 25\riff \vv {ON}=\frac 25\bm c,
\end{gather*}
所以
\begin{align*}
\S{OMN}&=\frac 13\cdot \frac 25\cdot\S{OBC}=16,\\
OM:MB&=1:2,\\
ON:NC&=2:3.
\end{align*}
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发表于 2017-12-13 23:54
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kuing
你真“无聊”啊,还不是要解决“分点”,向量当然能干。。。
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发表于 2017-12-13 23:56
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kuing
当然喽,这个“无聊”还是有意思的,,,,,很好的学习示范例答。。。。
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