[数论] 杨辉三角

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卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5-1)(2^5*19-1)=31*607,
并且：2^31-1与2^607-1同为素数。
L5=708158977,

L6=1002978273411373057
   =(2^7-1)(2^7*61698958748239-1)
   =127*7897466719774591,
已证：2^127-1是素数，蔡家雄猜想：2^7897466719774591-1是大素数。

卢卡斯定理
设 p为奇素数，
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 p是梅森素数。

卢卡斯定理的因子特征
设 p为>=5的奇素数，
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 L(p-1) = (2^p-1) (2^p*q-1)

此时，猜想：仅当 p=5 和 p=7 时，
L(p-1) / (2^p-1) = (2^p*q-1) 是素数。


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 m 表示为费尔马伪素 ,
则 (4^m - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 C 表示为卡迈克尔数 ,
则 (4^C - 1)/3 一定是卡迈克尔数.

证明要点：
2^m - 1   mod   m = 1
(2^m+1)/3   mod   m = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod   2^m - 1 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (2^m+1)/3 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (4^m -1)/3 = 1


蔡家雄猜想

在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即：(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的孪生素数,
即：(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4

在(6k)^2 - 4 与[6(k+1)]^2 - 4 之间有两对三生素数,
即：(6k)^2 - 4 < (P, P+2, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4
与：(6k)^2 - 4 < (P, P+4, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4

四生素数猜想

10^n<(10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9)<10^(n+1)


我的新观点：

给出一个正整数 D 为确定值，
若 D^4 = A^4+B^4+C^4 有正整数解，
则 D^3 = a^3+b^3+c^3 也有正整数解.

12197457^4= 5870000^4+ 8282543^4+ 11289040^4
12197457^3=1758192^3+ 5164689^3+ 11867796^3

16003017^4= 4479031^4+ 12552200^4+14173720^4
16003017^3=5254722^3+ 12181401^3+ 12897954^3

44310257^4= 2164632^4+ 31669120^4+41084175^4
44310257^3=7149545^3+ 25721440^3+ 41137382^3

68711097^4= 10409096^4+42878560^4+65932985^4
68711097^3=28525224^3+ 50208249^3+55894020^3

68711097^4= 10409096^4+42878560^4+ 65932985^4
68711097^3= 28525224^3+50208249^3+ 55894020^3

156646737^4= 27450160^4+108644015^4+146627384^4
156646737^3= 5715138^3+ 13248729^3+ 14028066^3

589845921^4= 186668000^4+ 260052385^4+ 582665296^4
589845921^3=173753062^3+ 260629593^3+ 566983676^3

638523249^4= 219076465^4+ 275156240^4+630662624^4
638523249^3= 47740056^3+ 235946046^3+ 627506313^3

1679142729^4=  50237800^4+ 632671960^4+1670617271^4
1679142729^3= 747915102^3+1151202657^3+1407840192^3

1787882337^4= 686398000^4+1237796960^4+ 1662997663^4
1787882337^3= 978275241^3+1146943386^3+ 1484279676^3

1871713857^4= 92622401^4+ 1553556440^4+1593513080^4
1871713857^3= 369070338^3+ 606329841^3+1845351690^3

给出一个正整数 D 为确定值，
若 D^5 = A^5+B^5+C^5 有正整数解，
则 D^4 = a^4+b^4+c^4 也有正整数解.

这暗示着：
A^5+B^5+C^5 = D^5 有正整数解，
这意味着：
A^5+B^5+C^5 = D^5 成了千古难题！


蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。                                                
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.                                                   
                                                                             
                                                                                 
蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.                                                                                            
                                                                             
                                                                             
蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数，                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8-1的原根。                                            
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.         


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数，                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.                                                            
                                                                             
                                                                              
蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624.
(转载）来自http://bbs.emath.ac.cn/thread-9615-1-1.html

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2017-12-11 20:54