本帖最后由 student_qwh 于 2017-12-9 11:00 编辑
卢卡斯级数的通项公式
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5-1)(2^5*19-1)=31*607,
并且：2^31-1与2^607-1同为素数。
L5=708158977,
L6=1002978273411373057
=(2^7-1)(2^7*61698958748239-1)
=127*7897466719774591,
已证：2^127-1是素数，蔡家雄猜想：2^7897466719774591-1是大素数。
卢卡斯定理
设 p为奇素数，
若 L(p-1) mod (2^p-1)=0,
则 p是梅森素数。
卢卡斯定理的因子特征
设 p为>=5的奇素数，
若 L(p-1) mod (2^p-1)=0,
则 L(p-1) = (2^p-1) (2^p*q-1)
此时，猜想：仅当 p=5 和 p=7 时，
L(p-1) / (2^p-1) = (2^p*q-1) 是素数。
蔡家雄猜想
若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.
若 m 表示为费尔马伪素 ,
则 (4^m - 1)/3 一定是费尔马伪素.
若 C 表示为卡迈克尔数 ,
则 (4^C - 1)/3 一定是卡迈克尔数.
证明要点：
2^m - 1 mod m = 1
(2^m+1)/3 mod m = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1] mod 2^m - 1 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1] mod (2^m+1)/3 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1] mod (4^m -1)/3 = 1
蔡家雄猜想
在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即：(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2
在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的孪生素数,
即：(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4
在(6k)^2 - 4 与[6(k+1)]^2 - 4 之间有两对三生素数,
即：(6k)^2 - 4 < (P, P+2, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4
与：(6k)^2 - 4 < (P, P+4, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4
四生素数猜想
10^n<(10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9)<10^(n+1)
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.
10是如下素数的原根：
223
22222223
22222222223
222222222222222222222222222222222223
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.
10是如下素数的原根：
337
333337
3333333333333333333333333333333333333333333337
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.
10是如下素数的原根：
4447
4444444447
44444444444444444447
44444444444444444444444447
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.
10是如下素数的原根：
887
8887
888887
888888887
888888888887
888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.
10是如下素数的原根：
229
22229
22222222222229
蔡家雄猜想
设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。
不超3000的n=66,86,90,102,386,624.
10是如下素数的原根：
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
蔡家雄猜想
设P为素数，且4P+1同为素数，
若 (4P+1) mod 40=29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。
断言：这个猜想不可能被推翻。
这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 100000000, k++,
If[PrimeQ[7 + 30 k] && PrimeQ[29 + 120 k], s = s + 1;
Print[s, "---", k, "---", 7 + 30 k, "----", 29 + 120 k, "---",
MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]
蔡家雄猜想：
设P和2P+1都是素数，
根据费马小定理，易知
当素数P>=11时，
1/(2P+1)的循环节长度或是P, 或是2P.
若 (2P+1) mod 40=3或27或39，
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P ，（半节）
若 (2P+1) mod 40=7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。（全节）
断言：这个猜想不可能被推翻。
这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[p = 2, p <= 1000000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1]) && (Mod[2 p + 1, 40] == 7 ||
Mod[2 p + 1, 40] == 19 || Mod[2 p + 1, 40] == 23), s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", 2 p + 1, "-------", Mod[2 p + 1, 40],
"-------", MultiplicativeOrder[10, 2 p + 1] == 2 p]]]
蔡家雄猜想
设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,使
n!+1<素数(n!+p)<n!+n^2
我用Mathematica数学软件：NextPrime[n!+1]
——验证了6<n<=2016，这个猜想无一反例。
蔡家雄猜想
设素数P≥11,
若P和2P+1都是素数，
则(P-1)/2是素数2P+1的一个原根。
这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[p = 11, p <= 1000000, p++,
If[PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1], s = s + 1;
Print[s, "---", p, "---", 2 p + 1, "----", (p - 1)/2, "---",
MultiplicativeOrder[(p - 1)/2, 2 p + 1] == 2 p]]]
蔡家雄猜想
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29都是素数，
则10k+2是素数(120k+29)的一个原根。
这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "---", k, "---", 30 k + 7, "---", 120 k + 29, "----",
10 k + 2, "---",
MultiplicativeOrder[10 k + 2, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]
蔡家雄猜想
设n>=6,
设P和 2^n×P+1 都是素数，
若（2^n×P+1） mod 40=17或33，
则整数10是素数（2^n×P+1）的一个原根。
则1 /（2^n×P+1）具有最大循环节长度。
蔡家雄最后猜想
设 n > 9,
且 n^3 > p, p 为素数，
若 C(pn, n) mod n^3 = p,
则 n 一定是素数。
编程验证
s = 4;
For[n = 10, n <= 100000, n++,
If[Mod[Binomial[p n, n], n^3] == p, s = s + 1;
Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]] |
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
发表于 2017-12-9 10:51
| 
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友