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[几何] 初中难题

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2017-12-7 22:48

能否推广到双曲线的一般情况?(以及椭圆、抛物线)
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1、这个题初中能做?怎么做?
2、“推广”是什么意思?O是双曲线中心,抛物线连对称中心都没有。

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回复 2# 游客
的确是2014年中考模拟卷的选择题,不知出题人的意图是什么,学生一般会猜线段在对称时最短,但是证明起来却不简单

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求助。。。。。。

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这题放到高中估计也很多人证不出来……

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设 $A$, $B$ 两点的横坐标为 $a$, $b$,则两射线斜率为 $k_{OA}=\sqrt3/a^2$, $k_{OB}=\sqrt3/b^2$,于是由夹角为 $30\du$ 得
\begin{align*}
\frac{k_{OB}-k_{OA}}{1+k_{OA}k_{OB}}=\tan30\du=\frac{\sqrt3}3
&\iff3(a^2-b^2)=a^2b^2+3\\
&\iff3\left( \frac ab-\frac ba \right)=ab+\frac3{ab}, \quad(*)
\end{align*}
于是
\begin{align*}
AB^2&=(a-b)^2+\left( \frac{\sqrt3}a-\frac{\sqrt3}b \right)^2\\
&=(a-b)^2\left( 1+\frac3{a^2b^2} \right)\\
&=\left( \frac ab+\frac ba-2 \right)\left( ab+\frac3{ab} \right)\\
&=3\left( \sqrt{\left( \frac ab-\frac ba \right)^2+4}-2 \right)\left( \frac ab-\frac ba \right),
\end{align*}
令 $v=a/b-b/a$,由式 (*) 知 $v\geqslant 2/\sqrt3$,则
\[AB^2=3\bigl( \sqrt{v^2+4}-2 \bigr)v=f(v),\]
求导得\(\require{cancel}\)
\[\bcancel{
f'(v)=\frac{6\bigl( v^2+2-\sqrt{v^2+4} \bigr)}{\sqrt{v^2+4}}
=\frac{6(v^4+3v^2)}{\sqrt{v^2+4}\bigl( v^2+2+\sqrt{v^2+4} \bigr)}>0,
}\]
因为 $\sqrt{v^2+4}-2$ 恒正且递增,所以 $f(v)$ 递增,从而
\[f(v)\geqslant f\left( \frac2{\sqrt3} \right)=8-4\sqrt3=\bigl( \sqrt6-\sqrt2 \bigr)^2,\]
所以 $AB\geqslant \sqrt6-\sqrt2$,当 $a=\sqrt3$, $b=1$ 时取等,所以最小值就是 $\sqrt6-\sqrt2$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 isee 于 2017-12-19 23:55 编辑

回复 6# kuing


    你都动用导数了,,,,,,说明常规运算不是命题人的方向。。。我只是猜咯。。

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20171219164531.png
2017-12-19 16:46
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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回复 8# zhcosin

捕获.PNG
2017-12-19 17:19
五笔党
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回复 9# kuing
话说你那个单调性,似乎可以目测啊,两个正的增函数相乘,都不用求导了。。。

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回复 10# zhcosin

噢对呵,俺笨死鸟

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聪明一世,糊涂一时哎

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已将求导划掉

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回复 6# kuing
谢谢k神!

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回复 8# zhcosin
谢谢zhcosin出手!!

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回复 8# zhcosin

仔细看了下,$d^2=$ 右边的第三项分子应为 $4\sqrt3$ 吧,然而最终结果又没错?

后面也可以简单些,直接积化和差
\[\sin 2\alpha \sin 2(\alpha +30\du)=\frac {\cos 60\du-\cos (4\alpha +60\du)}2\leqslant\frac{\frac12+1}2= \frac 34,\]
当 $\alpha=30\du$ 取等。

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如图,由于$\angle AOB$为定值,$AB$最小等价于三角形$AOB$的外接圆$D$半径$r$最小.

h-l.png
2017-12-19 23:44


取$AB$中点$E$,连接$OE$,$ED$,则$$r+\frac{\sqrt 3r}2=OD+DE\geqslant OE.$$

当点$D$落在$OE$上时,$r_{\min}=?$.(不想算)

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回复 17# isee

但是 OE 并不是定值,不能由此说明 D 在 OE 上时 r 最小啊

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回复 18# kuing

我也看到了。其实转化成E的轨迹了,应该也是对称的,有瑕疵。

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本帖最后由 isee 于 2017-12-20 15:51 编辑
回复  isee

但是 OE 并不是定值,不能由此说明 D 在 OE 上时 r 最小啊
kuing 发表于 2017-12-20 00:02


如果能说明E的轨迹也是关于$y=x$对称的,最好是双曲线,则勉强可行。

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