[几何] 初中作圖題

231908

已知 ΔABC 中， AB > AC ，求作 AB 上一點 X 及 AC 上一點 Y，使得 BX = XY = YC

游客

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2017-12-7 15:39

231908

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這題是台灣的題目,做題者是初中生,但台灣初中還沒教三角函數呢

战巡

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2017-12-8 01:43

随手画的图，凑合看吧，作图过程没画完全，但不难理解

如图，$△ABC$确定，作$BC$中垂线$MO_1$，且在上面与$A$点同侧方向上找出一点$O_1$，使得$∠BO_1C=\pi-3(\pi-∠A)$
以$O_1$为圆心，$O_1B$为半径作圆$O_1$
作$∠A$平分线$AO$，与圆$O_1$交于$O$，连$OB, OC$
作$∠COX=∠BOY=\pi-∠A$
则$X, Y$即为所求点

证明：
过$O$作$BX, CY, XY$垂线，分别交于$H_1, H_2, H_3$
显然$OH_1=OH_2$，且易证$∠BOX=∠XOY=∠YOC=\frac{\pi-∠A}{2}$，$∠H_1OH_2=\pi-∠A=∠COX=∠BOY$，有$∠XOH_1=∠COH_2$，继而可证$△XOH_1\simeq△COH_2$，$CO=XO$
同理可证$YO=BO$
如此可知$△BOX\simeq △XOY\simeq △COY$，$BX=XY=CY$