显然 $ab\leqslant1$。
若 $ab=1$ 则 $a=b=1$,此时 $d(20+d)=11c$,故 $11\mid d$ 或 $11\mid(20+d)$,得 $d=0$ 或 $d=2$,分别对应 $c=0$ 或 $c=4$;
若 $ab=0$,当 $a=0$,则 $10bd+d^2=100+10c+c$,因为平方数的个位只有 1, 4, 5, 6, 9,故 $c$ 只能在这里取,逐一代入后可知只有 $c=4$ 时有解,解为 $d=2$, $b=7$ 及 $d=8$, $b=1$。
$b=0$ 时同理。
综上,所有解为 $(a,b,c,d)=(1,1,0,0), (1,1,4,2), (0,7,4,2), (0,1,4,8), (7,0,4,2), (1,0,4,8)$。 |