[不等式] 求教一个简单不等式的证明

lemondian

求教一个简单不等式的证明：$\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
请问能否用几何图形证明？基本不等式？柯西不等式？向量法？

kuing

几何意义就是 $\sqrt x$ 上两线段的斜率啊
太简单的不等式怎么玩都行，但也没什么意思

lemondian

回复 2# kuing

   
    这个题不难，分析法，斜率法等，我也明白的，还可以用函数的单调性，想看看有没有其它证法？我所指的几何图形：能不能构造三角形呀什么的？可以开拓思路

kuing

回复 3# lemondian

那你慢慢玩我走先

isee

强挂方法实质上也没什么意义，解题直接，简单为上。

lemondian

回复 5# isee

还是有用的，至少开拓思路，方法越多越好

敬畏数学

回复 6# lemondian
确实，多多益善啊！可以推广此式。

Infinity

回复 1# lemondian

原不等式等价为\[\sqrt{7}-\sqrt{6}<\sqrt{3}-\sqrt{2}\]均大于零，故同时取倒数\[\sqrt{7}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{2}\]此时显然。

lemondian

回复 8# Infinity

是想看看这个：请问能否用几何图形证明？基本不等式？柯西不等式？向量法？

Infinity

回复 9# lemondian

不等式最基础的就是作差比较，任何基本不等式或向量或图形的本质都是作差比较。舍本逐末只能学到形式的东西。《倚天屠龙记》中张三丰因伤临时传授张无忌太极剑法，在其忘记了太极剑法招式后反而很高兴，就是这个道理。

zhcosin

表示我的计算器蠢蠢欲动。。。。。
要论方法的话，有一堆肯定没在你的料想中的，比如利用泰勒公式对对数进行估值等等。

力工

回复 11# zhcosin

/qiang!强word哥！利用泰勒公式对对数进行估值？这题是根式啊。

其妙

回复 1# lemondian
图象是显然的呀！$y=\sqrt x$是上凸函数，注意到2+7=3+6，并且2<3<6<7，一望便知结论成立

其妙

回复  lemondian

原不等式等价为\[\sqrt{7}-\sqrt{6}<\sqrt{3}-\sqrt{2}\]此时显然。
Infinity 发表于 2017-11-19 17:46

你这个等价可以看作上凸函数的斜率逐渐较小吧

zhcosin

回复 12# 力工
我日，这都能看错。
不过，一个鸟样吧，把函数$y=\sqrt{4.5+x}+\sqrt{4.5-x}$在$x=0$处泰勒展开，一目了然，

下载 (16.75 KB)

2017-11-20 18:07

这显示后面都只剩下负的偶数项，距离中心越远，值越小.这不等式的本质就是开方函数的上凸性.