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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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guanmo1
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发表于 2017-11-17 19:53
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只看该作者
[几何]
两道平几题
如题
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kuing
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发表于 2017-11-17 22:13
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圆的那道显然不需要搞出两个内切小圆来(命题者想吓人?),因为图形上下两部分完全独立,所以在其中一部分就必然会有结论。
那么接下来我们就捂住下面,只看上半部分的,来证明 $\S{ABE}+\S{ABG}$ 为定值。
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2017-11-17 22:21
设 $\odot O$ 与 $AB$ 切于 $H$,大圆半径为 $R$,小圆半径 $OH=r$,则有 $(R-r)^2=r^2+QH^2$,那么
\begin{align*}
\S{ABE}+\S{ABG}&=R(BE+AG)\\
&=2R^2(\tan\angle BAE+\tan\angle ABG)\\
&=2R^2\left(\frac r{HA}+\frac r{HB}\right)\\
&=4R^3\cdot\frac r{HA\cdot HB}\\
&=4R^3\cdot\frac r{(R+QH)(R-QH)}\\
&=4R^3\cdot\frac r{R^2-(R-r)^2+r^2}\\
&=2R^2.
\end{align*}
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乌贼
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发表于 2017-11-18 01:36
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2017-11-18 01:36
易证$ \triangle DEF $为正三角形,有\[ DF=DE \]作$ PM\perp BC $于$ M $,$ MN\perp AC $于$ N $,得\[ \angle PMN=60\du \]又$ DM\px DF,MN\px DE $有\[ \dfrac{PM}{FD}=\dfrac{CM}{CD} =\dfrac{MN}{DE}\riff PM=MN\]即$ \triangle PMN $为正三角形,故\[ \angle APN=90\du \]所以\[ \triangle APN\cong \triangle BMP\riff \dfrac{AP}{PB}=\dfrac{MB}{PB} =\dfrac{1}{2}\]
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