[函数] 构造函数

_xiao

请问利用拐点偏移如何做出!

色k

“拐点偏移”是什么东东？没听过，这题用常规方法就很容易啊
\[
f'(x) = f'(4 - x)\iff f(x) + f(4 - x) = C,
\]
令 $x=2$ 得 $C=2f(2)=2$，即
\[
f(x) + f(4 - x) = 2\riff f(0) = 2 - f(4) = 2,
\]
令
\[
g(x) = \frac{f(x)}{e^x}\riff g'(x) = \frac{f'(x)- f(x)}{e^x} < 0,
\]
所以
\[
f(x) - 2e^x < 0\iff g(x) < 2 = g(0)\iff x > 0.
\]

当然，还有最重要的一步没做，就是证明这题不是错题，这只需举一个符合条件的函数，不过一时还没想到，待续……

isee

回复 2# 色k


    就是存在性咯，，，，，是不是以前讨论过这题？或者是类似的，印象中好像见过。。。

色k

回复 2# 色k

续：
不难证明，以下函数满足题目的所有条件：
\[f(x)=
\led
&\frac{3+e^{-x}}2, && x<0, \\
&\frac{4-x}2, && 0\leqslant x\leqslant 4, \\
&\frac{1-e^{x-4}}2, && x>4,
\endled
\]
这样就证明了题目是正确的，2楼的过程总算没白写。

附此函数及其导数的图象：

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2017-11-17 00:24

色k

就是存在性咯，，，，，是不是以前讨论过这题？或者是类似的，印象中好像见过。。。 ...
isee 发表于 2017-11-17 00:19

在《数学空间》第 16 期的《错题集》中的错题 10 就是类似题，解法差不多，而那题最后就被证明了条件矛盾，是错题，所以说验证存在性是非做不可的。

游客

也就是要找个函数y=u(x)满足：
u(x)是奇函数,u(2)=-1,u’(x)-u(x)<1.
然后取f(x)=u(x-2)+1.
这样的函数u(x),更简单点的怎么找？

kuing

回复 6# 游客

可以取
\[u(x)=\frac{e^{-x}-e^x}{e^2-e^{-2}},\]即\[f(x)=\frac{e^{2-x}-e^{x-2}}{e^2-e^{-2}}+1,\]
这样就不用分段函数了。

图象和上面的差不多：

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2017-11-17 10:32

_xiao

回复 2# 色k

谢谢大神

色k

8k7，这么久才回，还以为你潜水了哩