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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 关于复数模的不等式
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发表于 2017-11-15 20:50
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[不等式]
关于复数模的不等式
本帖最后由 isee 于 2017-11-15 20:52 编辑
给定实数$r\in (0,1)$.证明:若$n$个复数$z_1,z_2,\cdots,z_n$满足$\abs{z_k-1}\leqslant r(k=1,2,\cdots,n)$,则$$\abs{z_1+z_2+\cdots+z_n}\cdot \abs{\frac 1{z_1}+\frac 1{z_2}+\cdots+\frac 1{z_n}}\geqslant n^2(1-r^2).$$
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发表于 2017-11-16 17:58
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只看该作者
上述结论可以推广:
设$\lambda_k>0$,$\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$,记$A=\sum_{k=1}^n\lambda_kz_k$,$G=\Pi_{k=1}^n z_k^{\lambda_k}$,$H=\frac{1}{\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{z_k}}$,则有\[(1-r^2)|A|\leqslant |H|\leqslant \frac{|A|}{(1-r^2)}\tag{1}\]以及\[\frac{(1-r^2)|G|}{1-|G-1|^2}\leqslant|H|\leqslant\frac{|G|^2}{1-r^2}\tag{2}\]$(1)$式右端便是1楼的不等式。
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kuing
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发表于 2017-11-17 03:19
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Infinity
我在《常用不等式(第4版)》里查到了这结论(P496),可惜没提供证明,只提供了一个参考文献:
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2017-11-17 03:19
跳到参考文献[301]是这个:
下载
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2017-11-17 03:19
不知从哪里找才能看到这篇文章了……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2017-11-17 12:49
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https://www.sciencedirect.com/sc ... i/S0022247X99966726
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kuing
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发表于 2017-11-17 13:35
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Infinity
多谢!
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发表于 2017-11-17 15:22
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kuing
你那里能下载吗?若不能,我可以上传文件。不过里面的证明似乎并不初等,并且还比较复杂。
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kuing
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发表于 2017-11-17 15:27
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Infinity
能下啊,嗯,很复杂的样子,一时间还看不来,对复数不太熟
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