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[函数] 二元函数的最值

本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-16 09:52 编辑

$x,y$均为正数,且$x+y\leqslant4$,则$\dfrac{4x+y}{xy}+\dfrac{2y-x}{4}$的最小值______?
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x≤4-y,原式关于 x 递减,所以取最小时必定 x=4-y,代入后靠目测凑个系数即可均值解决。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-14 21:06 编辑

$f(x)=\dfrac{4x+y}{xy}+\dfrac{2y-x}{4}$,$x\in(0,4-y]$为减函数,所以有,
\begin{align*}
\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x}{4}
&\geqslant\frac{4}{y}+\frac{1}{4-y}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4}{y}+ty+\frac{1}{4-y}+s(4-y)-1-4s\\
&\geqslant4\sqrt{t}+4\sqrt{s}-1-4s\\
\end{align*}
等号成立,当且仅当;\[\frac{4}{y}=ty,\frac{1}{4-y}=s(4-y),t-s=\frac{3}{4}\]
解得:\[s=\frac{1}{4},t=1,y=2\]
即所求式子的最小值为3。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-15 09:15 编辑

解:
\begin{align*}
\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x}{4}
&=\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x+4}{4}-1\\
&\geqslant\frac{4x+y}{xy}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4}{y}+\frac{1}{x}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4-s}{y}+\frac{s}{y}+\frac{1}{x}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4-s}{y}+\frac{3y}{4}+\frac{1}{x}+\frac{s}{y}-1\\
&\geqslant2\sqrt{\frac{3(4-s)}{4}}+\frac{(\sqrt{s}+1)^2}{x+y}-1\\
&\geqslant2\sqrt{\frac{3(4-s)}{4}}+\frac{(\sqrt{s}+1)^2}{4}-1\\
\end{align*}
等号成立,当且仅当满足;$\begin{cases}
x+y=4 \\
\dfrac{4-s}{y}=\dfrac{3y}{4}\\
s=1\end{cases}$
解得:\[s=1,x=y=2\]
即所求式子的最小值为3。

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消元或逐元法(留一个变量,其他看作常量)。

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