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回复 1# APPSYZY
为证明$f(x)$在点$a \neq 0$处不连续,根据连续的定义,只要证明对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$,使得存在一个$x$,满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。
1. 当$a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$时,存在$x \in \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$,于是有$a-\delta < x < a+\delta$,即总有$\abs{x} > \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{x-0} = \abs{x}$,只要取$\varepsilon < \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$即可。

2. 当$a \in \mathbb{Q}$时,由无理数的稠密性知存在$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{0-a} = \abs{a}$,只要取$\varepsilon = \frac{\abs{a}}{2}$即可。


于是对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$,使得存在一个$x$,满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。即$f(x)$在点$x \neq 0$处不连续。

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回复 3# abababa
网友给我讲的方法就是楼主说的那个否定形式吧。
那个有理数列和无理数列的,应该还是用到了实数的完备性。

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