函数连续性

APPSYZY

2017-10-24 18:15

zhcosin

问题一：连续定义是bababa，你要证明它不连续，不就是证明它不满足bababa 吗，也就是那个否定形式吗？
问题二：这不是数学问题，这是哲学问题，请发到哲学论坛上，真要回答的话，答案是“马克思主义思想”。
问题三：更妙的标准是什么，字数更短？

建议：认真看书，如果还不会做这种题目，那就继续看书，要是看了三遍还是不会，换一本书再看。

abababa

回复 1# APPSYZY
为证明$f(x)$在点$a \neq 0$处不连续，根据连续的定义，只要证明对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$，使得存在一个$x$，满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。
1. 当$a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$时，存在$x \in \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$，于是有$a-\delta < x < a+\delta$，即总有$\abs{x} > \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{x-0} = \abs{x}$，只要取$\varepsilon < \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$即可。

2. 当$a \in \mathbb{Q}$时，由无理数的稠密性知存在$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{0-a} = \abs{a}$，只要取$\varepsilon = \frac{\abs{a}}{2}$即可。


于是对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$，使得存在一个$x$，满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。即$f(x)$在点$x \neq 0$处不连续。

abababa

回复 3# abababa
网友给我讲的方法就是楼主说的那个否定形式吧。
那个有理数列和无理数列的，应该还是用到了实数的完备性。

APPSYZY

回复 3# abababa
谢谢前辈，大学数学我学的第一本书就是同济大学出版的高等数学，其中很多基础原理和性质都没有提及，比如实数的完备性，所以很多地方证明起来很费劲，我已经准备看《数学分析》来补一补数学基础了！

APPSYZY

回复 2# zhcosin


    不好意思让您见笑啦

zhcosin

回复 5# APPSYZY
我在2楼就已经建议你换书看了，如果你想弄懂这些问题，就不能看同济大学的《高等数学》，那是给非数学专业用的，你应该看数学专业的《数学分析》教材，下面是一些参考书:
1. 《数学分析》. 华东师范大学数学系. 高等教育出版社.
2. 《数学分析新讲》. 张筑新. 北京大学出版社.
3. 《高等数学引论》. 华罗庚. 高等教育出版社.

APPSYZY

回复 7# zhcosin
谢谢前辈，我的老师也建议我看数学系的教材