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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 可以玩玩的不等式
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发表于 2017-10-19 06:26
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[不等式]
可以玩玩的不等式
若 $a,b,c$ 为非负实数,则有
$$a\sqrt{a^2+3b^2}+b\sqrt{b^2+3c^2}+c\sqrt{c^2+3a^2}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^2.$$
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发表于 2017-10-19 23:00
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只看该作者
好吧我自己给出一个证明……
易证$\sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}.$
所以我们只需证明
$$\sum a\frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^2$$
即
$$\sum (a\frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}-\frac{7a^2+16ab+b^2}{12})\geq 0$$
亦即
$$\sum \frac{(a-b)^2(5a-3b)}{a+3b}\geq 0.$$
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力工
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发表于 2017-10-21 13:56
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血狼王
期待着你的更新。怎么还不更呢?
看来可以改为:若$a,b,c\geqslant -1$,则有$a\sqrt{a^2+3b^2}+b\sqrt{b^2+3c^2}+c\sqrt{c^2+3a^2}\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)^2$.
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kuing
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发表于 2017-10-22 04:05
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力工
怎么可以改成负?都负时显然不成立啊
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血狼王
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发表于 2017-10-23 13:08
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力工
接下去我用SOS做,卡住了……一时间没有什么思路
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力工
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发表于 2017-10-23 14:05
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kuing
是的,我错了,没注意到可以都负,
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