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[不等式] 来自网友的一道幂指不等式 $x^{1-x}+(1-x)^x\le\sqrt2$

2017-10-16
长风大侠 7:02:07
QQ截图20171016110035.jpg
2017-10-16 11:01

看看这题,谢谢!

证明:因为 $\ln2<1$,下面证明更强式
\[x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt2-\frac{\sqrt2}2(1-\ln2)(2x-1)^2. \quad(*)\]


\[f(x)=x^{-x},\quad x\in(0,1),\]
求二阶导数得
\[f''(x)=-x^{-x-1}+x^{-x}(1+\ln x)^2,\]
下面证明 $f''(x)<0$,即证
\[(1+\ln x)^2<\frac1x,\]
令 $x=e^{-t}$, $t>0$,即证
\[(1-t)^2<e^t,\]
由泰勒易得
\[e^t>1+t+\frac{t^2}2+\frac{t^3}6>(1-t)^2,\]
%(用泰勒是因为我懒得啰嗦,其实直接求导证也很容易)
所以 $f''(x)<0$ 成立,即 $f(x)$ 为上凸函数。

不难计算出 $f(x)$ 在 $x=1/2$ 处的切线方程为
\[y=\sqrt2(\ln2-1)\left( x-\frac12 \right)+\sqrt2,\]
那么,由于 $f(x)$ 为上凸函数,它必不大于其任一切线,于是我们有
\[x^{-x}\leqslant \sqrt2(\ln2-1)\left( x-\frac12 \right)+\sqrt2,\]
所以
\[x^{1-x}\leqslant \sqrt2(\ln2-1)\left( x-\frac12 \right)x+\sqrt2x,\]
上式对 $x\in[0,1]$ 恒成立,对其作置换 $x\to1-x$,同样有
\[(1-x)^x\leqslant \sqrt2(\ln2-1)\left( \frac12-x \right)(1-x)+\sqrt2(1-x),\]
以上两式相加,即得式 $(*)$。$\Box$
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用琴生吧,x1+x2=1.

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用琴生吧,x1+x2=1.
游客 发表于 2017-10-16 12:14

$x^{1-x}$ 并不保凸……

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回复 2# 游客

哦,我知道你意思了,用加权的琴生确实也可以。

证二:同样是用1楼所设的 $f(x)=x^{-x}$,上面已经证明了它是上凸函数,因此由加权琴生不等式有
\[x^{1-x}+(1-x)^x=xf(x)+(1-x)f(1-x)\leqslant f\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr),\]
令 $u=x^2+(1-x)^2$,显然 $u\geqslant1/2$,由 $f'(x)=x^{-x}(-1-\ln x)$ 知 $f(x)$ 在 $(1/e,1)$ 上递减,而 $1/e<1/2$,从而 $f(u)\leqslant f(1/2)=\sqrt2$,即得 $x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant\sqrt2$。

这样确实更简单(对于原题)。

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唉,取了个对数之后,不等号的方向搞错了。

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这是啥子不等式哦?答案我都看不懂。。。。。

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事实上有$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leqslant\sqrt{2}$

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回复 7# v6mm131

这个漂亮呀,怎么搞出来的?

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回复 7# v6mm131

怎么不见人了……

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翻个老帖。
事实上有$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leqslant\sqrt{2}$
v6mm131 发表于 2017-10-16 20:27

v6 不回复我,只好自己撸了。

下面证明菊部不等式:对任意 `x\in[0,1]`,恒有
\[x^{1-x}\leqslant\sqrt x+\sqrt2x(1-x)(2x-1)\ln2.\quad(*)\]


\[g(x)=\frac1{\sqrt x}+\sqrt2(1-x)(2x-1)\ln2-x^{-x},\quad x\in(0,1],\]
则等价于证明 `g(x)` 非负,为此,把它求三次导数,结果如下
\begin{align*}
g'(x)&=-\frac1{2x^{3/2}}+\sqrt2(3-4x)\ln2+x^{-x}(1+\ln x),\\
g''(x)&=\frac3{4x^{5/2}}-4\sqrt2\ln2-x^{-x-1}(-1+x+2x\ln x+x\ln^2x),\\
g'''(x)&=-\frac{15}{8x^{7/2}}+x^{-x-2}\bigl( -1-3x+x^2-3x\ln x+x^2(3+3\ln x+\ln^2x)\ln x \bigr),
\end{align*}
不难证明 `-1-3x+x^2-3x\ln x<0`,由此可见恒有 `g'''(x)<0`,即 `g'(x)` 上凸。

经计算易知 `g'(1/2)=0`, `g'(1)<0`, `g''(1/2)>0`,由此可见存在 `x_0\in(1/2,1)` 使 `g'(x_0)=0`,即 `g'(x)` 有两个零点 `1/2` 和 `x_0`。

结合以上两点可知:在 `(0,1/2)` 内 `g'(x)<0`,在 `(1/2,x_0)` 内 `g'(x)>0`,在 `(x_0,1)` 内 `g'(x)<0`,
即:`g(x)` 在 `(0,1/2)\searrow`,在 `(1/2,x_0)\nearrow`,在 `(x_0,1)\searrow`,而显然 `g(1/2)=g(1)=0`,所以恒有 `g(x)\geqslant0`,式 (*) 获证。

那么,对式 (*) 作置换 `x\to1-x` 也有
\[(1-x)^x\leqslant\sqrt{1-x}+\sqrt2x(1-x)(1-2x)\ln2,\]
与式 (*) 相加即得
\[x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant\sqrt x+\sqrt{1-x}.\]
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