本帖最后由 isee 于 2017-10-14 22:53 编辑
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1、普及三次方程解法：${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$。
①任意三次方程都可以通过平移变换消去二次项：
${x^3} + a{x^2} + bx + c = {(x + u)^3} + (a - 3u){x^2} + (b - 3{u^2})x + (c - {u^3})$，
令$a - 3u = 0$，$x + u = y$，则：${y^3} + (b - 3{u^2})y + 2{u^3} - bu + c = 0$，
即转化为${y^3} + my + n = 0$的形式。
②方程${x^3} + mx + n = 0$的实根个数的判断：
显然，曲线$y = {x^3}$与直线$y = - mx - n$至少有一个公共点，最多有三个公共点。
当$m \ge 0$时，公共点只有一个；当$m < 0$时，只要考察曲线$y = {x^3}$的斜率为$ - m$的两条切线与直线$y = - mx - n$的位置关系即可。
③方程${x^3} + mx + n = 0$的求根公式推导：（通过换元转化为二次）
令$x = u + v$，则：$({u^3} + 3{u^2}v + 3u{v^2} + {v^3}) + m(u + v) + n = 0$，
即：$({u^3} + {v^3}) + (m + 3uv)(u + v) + n = 0$。
令$m + 3uv = 0$，则上述方程就只剩两项了，可以转化成二次方程直接求解。
说明：将三次转化为二次的大胆猜想和二项式定理的运用，在这里起了关键作用。
2、四次方程解法普及：依然运用二项式定理和转化为二次方程来处理。
①运用二项式定理和平移变换，将四次方程转化为不含三次项的形式：
${x^4} + a{x^2} + bx + c = 0$。
②令${x^4} + a{x^2} + bx + c = {({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$，则：
$2m + n = a$，$2nt = b$，${m^2} + n{t^2} = c$。
即：${m^2} + \frac{{{b^2}}}{{4(a - 2m)}} = c$，$n = a - 2m$，$t = \frac{b}{{2n}}$。
这样就转化成为关于$m$的一个3次方程了。
③若$n < 0$，则${({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$为一个平方差形式；
若$n > 0$，则${({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$为一个平方和形式；
无论要求实数根还是复数根，都不困难了。
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发表于 2017-10-13 10:47
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