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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 平面向量一题,求解法。
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发表于 2017-10-12 19:10
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只看该作者
[几何]
平面向量一题,求解法。
参考答案感觉有点难想到,有没有简单容易上手的解法,请指点。
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2017-10-12 19:10
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zhcosin
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发表于 2017-10-12 19:23
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本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-13 07:45 编辑
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xianjian
解法一
我们伸缩$\vec{AP}$使其终点落在$BC$边上,为此需要放缩系数,使它的系数和为1:
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\left( \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \right) \]
括号内的部分系数和为1,因而以$A$作起点作出此向量,则它的终点在$BC$边上,又显然它与$\vec{AP}$共线,所以它就是直线$AP$与$BC$的交点,记为$E$,则
\[ \vec{AE}= \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \]
以及
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\vec{AE}\]
显然由$\vec{AE}$的表达式可得
\[ \vec{BE}=\frac{4}{3}\vec{EC} \]
即$BE:EC=4:3$,所以答案是
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}}= \frac{BE}{BC} \cdot \frac{AP}{AE} \cdot \frac{AD}{AB} = \frac{4}{4+3}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10} \]
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发表于 2017-10-12 19:49
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这类题比较多,除了楼上,还有,如,随手
找到个链接
注意
“参阅 《撸题集》第1019页FAQ21”
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发表于 2017-10-12 19:59
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本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-13 07:46 编辑
解法二
利用外积,为方便书写,先定义共线向量的除法运算,如果$\vec{a}=\lambda\vec{b}$,则定义$\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda$,那么
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \frac{\vec{AD}\times\vec{AP}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times \left( \frac{3}{10}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC} \right)}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times\frac{2}{5}\vec{AC}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10} \]
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发表于 2017-10-13 07:49
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解法三
既然是选择题,那我就找个特殊的三角形算一下啦,设三角形ABC是以A为顶点的等腰直角三角形,吧啦吧啦吧啦……
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发表于 2017-10-13 08:39
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解法一:等腰直角三角形最简单,首先
解法二:利用向量AP*Sa+向量BP*Sb+向量CP*Sc=向量0
解法三:其实就是一道平面几何题,过P作直线PE平行AC交AB于点E,显然|PE|=2/5|AC|,S△APD=3/4S△APB,S△APB=2/5S△ABC,所以;
S△APD=3/10S△ABC
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isee
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发表于 2017-10-13 08:57
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高手过招,就如古龙小说中的人比武,未见动静,就结束了
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发表于 2017-10-13 09:07
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谢谢各位指点!!!
想到了直角三角形这种情况。
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发表于 2017-10-13 09:08
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isee
小李飞刀,例无虚发,一刀封喉。
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发表于 2017-10-13 09:41
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话说向量符号怎么这么丑???
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发表于 2017-10-13 10:14
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zhcosin
不用默认,用\vv (kuing 这里也支持),或者 粗体 \bm,默认是很难看,不过,更显得内容精彩
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kuing
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发表于 2017-10-13 11:37
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isee
丑的是箭头的样子,所以用默认还是这里的 \vv 都丑,只有在真 LaTeX 里用 esvect 宏包的 \vv 改变了箭头的样子才会不丑。
单字母用 \bm 粗体,但双字母只能用箭头,所以在这里是没办法的……
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kuing
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发表于 2017-10-13 12:04
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