[数论] 把自然数按顺序写下来得到一个数列

isee

把自然数按顺序写下来得到一个数列$123456789101112131415161718192021\cdots$，问这个数列中的第$10^{1000}$个数字是什么？

tommywong

想不到好方法，步骤太麻烦，可能错了也查不出来

$\sum_{k=1}^n 9k10^{k-1}=\frac{(9n-1)10^n+1}{9}$

数列到了第$\frac{(9n-1)10^n+1}{9}$项时用尽了n位数

$\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10~~~~~\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10^2~~~~~\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10^{1000}$

$(9n-1)10^{n-1}+10^{-1}\le 9~~~~~(9n-1)10^{n-2}+10^{-2}\le 9~~~~~(9n-1)10^{n-1000}+10^{-1000}\le 9$

$n\le 1~~~~~n\le 1~~~~~n\le 997$

数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别落在某个$2,2,998$位数中

$10-\frac{(9\times 1-1)\times 10^1+1}{9}=1~~~~~10^2-\frac{(9\times 1-1)\times 10^1+1}{9}=91~~~~~10^{1000}-\frac{(9\times 997-1)\times 10^{997}+1}{9}=\frac{28\times 10^{997}-1}{9}$

$1\equiv 1\pmod{2}~~~~~91\equiv 1\pmod{2}~~~~~\frac{28\times 10^{997}-1}{9}\equiv 31\pmod{998}$

数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别落在这$2,2,998$位数中的第$1,1,31$个数字

$1-1=0~~~~~91-1=90~~~~~\frac{28\times 10^{997}-1}{9}-31=\frac{28\times 10^{997}-280}{9}$

这$2,2,998$位数分别是

$10^1+\frac{0}{2}=1~0~~~~~10^1+\frac{90}{2}=5~5~~~~~10^{997}+\frac{28\times 10^{997}-280}{9\times 998}=10031~17345~80271~65441~99510~13137~3~8588\dots$

数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别是$1,5,3$

http://oeis.org/A007376

isee

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    厉害厉害，结果正确！3。