[不等式] 请教一题

aaa

已知点 $P$ 为曲线 $xy-\dfrac 52x-2y+3=0$ 上任意一点，$O$为坐标原点，则 $|OP|$ 的最小值为

$xy-\dfrac 52x-2y+3=0\Longrightarrow (x-2)(2y-5)=4$ 换元后，后面那个不等式不会了

色k

见《撸题集》第 623 页题目 5.1.10.

其妙

回复 1# aaa

2017-10-9 23:52

游客

2017-10-10 14:30

kuing

回复 4# 游客

消 y 后求导可观察出有 x=1 的简单根，然后各种不同解法随手写出。

游客

回复 5# kuing


    那如果题目加个条件“x>2”，那切点不得求死不能？

力工

回复 3# 其妙

妙！实际上是拉格朗日乘子法。

kuing

回复 6# 游客

那如果题目加个条件“x>2”，那切点不得求死不能？
游客 发表于 2017-10-11 10:59

是的，那就要解三次方程了。
所以我越来越觉得这类题没意思，本质涉及高次方程，必须有好数据才能玩，命题者得凑好数据，你就得靠目测靠猜，无论从什么角度用什么方法，总要目测一次。

力工

回复 8# kuing

改成这样子，kuing神怎么破?
已知$x>1,y>1$且$xy-2x-y+1=0$,则$3x^2+2y^2$的最小值为多少？

游客

回复 8# kuing


    还有一个问题：这里得到的x=1只是目标的一个极值点，要知道它是不是最值点，还得配方配完之后才能确定。

不过，这个题倒是让我看到了等轴双曲线作切线的一个方法：
P为等轴双曲线上一点，M为双曲线的中心，
以P为圆心，PM为半径的圆，与双曲线实轴交与另一点N，
那么，过P且与PN垂直的直线，就是双曲线在P处的切线。

色k

回复 9# 力工

一样，有简单解，可做。

力工

回复 11# 色k

请示范，觉得此题正如“停在8楼的”你所说，貌似很烦。

zhcosin

回复 8# kuing


    纯技巧不如一般性理论有意思。

力工

回复 13# zhcosin

作为一般性解法：拉格朗日乘子法超过高中范围了。从高中知识角度确实不好做，我的浅见。周大神有何指点吗？

kuing

回复 14# 力工

这题才二元而且很容易消元，根本用不着什么拉格朗日乘子，用最平凡的高中知识就可以了，你试过我5楼说的没有。

敬畏数学

确实，有时觉得有的做法无病呻吟！哈哈！

zhcosin

2017-10-12 13:36

游客

2017-10-12 15:07

切线在中间跟切线在一边的写法是不一样的吧？

敬畏数学

回复 18# 游客
你的这个神奇的配方从哪里想来的？超一流的想象啊。。。

力工

17#强大，应该可以直接配方吧。