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[不等式] 请教一个不等式

QQ截图20171005074807.jpg
2017-10-5 07:50
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成立。
易证对 $x>0$ 有
\[\frac{\sqrt{1+8x}}9-\frac1{\sqrt{1+8x}}\geqslant\frac8{27}\ln x,\]
下略。

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噢,原来还是下凸的,那就更无需切线了……

\[g(x)=\frac{\sqrt{1+8e^x}}9-\frac1{\sqrt{1+8e^x}},\]
求二阶导数得
\[g''(x)=\frac{8e^x(16e^{2x}-12e^x+5)}{9(1+8e^x)^{5/2}}>0,\]
下略。

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回复 3# kuing
@Kuing:可否写得详细点,我蛮怕不等式的证明的,看不懂哩!

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回复 3# kuing
Kuing?再帮个忙吧

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回复 5# lemondian

就是换个元而已啊

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本帖最后由 lemondian 于 2017-10-8 21:51 编辑

回复 6# kuing


    换元的我了解:如二楼:令x=bc/a^2,然后我就看不懂了
三楼也差不多是这样,然后就没有然后了。。。

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回复 7# lemondian

二楼是令 $x=bc/a^2$ 等等则 $xyz=1$,证出那条式子之后加起来就行了啊。
三楼是令 $e^x=bc/a^2$ 等等则 $x+y+z=0$,然后由那条式子用琴生搞定啊。

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回复 8# kuing


    哥的跳跃太大了,能力还跟不上呀
比如说:如何证明2楼的不等式成立?

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回复 9# lemondian

最直接的求导就行了啊,别太懒

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回复 10# 色k


    我也是这样搞的,为何总做不出来呢?还是能力呀
法二倒是可以了。

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还是不行,唉。。。

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回复 12# lemondian

哪里遇到问题?

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回复 13# kuing

法二我弄懂了,法一那个不等式我证不了哩

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@kuing,@色k:麻烦写一下法一不等式的证明呗。先行谢谢了

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本帖最后由 lemondian 于 2017-10-10 21:51 编辑

费了好久功夫,这样证明不知是否可行?
有没有更为简单的证法昵?请问各位大牛们
QQ截图20171010214850.jpg
2017-10-10 21:51

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@kuing,@色k
我试着“法一”用切线来证,但
QQ截图20171016143429.jpg
2017-10-16 14:35

然后呢?我做不下了了!
跪求解法

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回复 17# lemondian

这说明这样切就放过头了……

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回复 18# kuing


    那么,应如何做?求下一个吧

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回复 19# lemondian

这样行不通那就扔掉再想别的啊

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