[组合] 几个奇怪的问题

走走看看

1、每周值日两天，每天值日的概率怎么算？

这个概率多少呢？有人说是2/7。
有人列出个式子C(6,1)/C(7,2)，为什么不是C(7,1）/C(7,2)呢？
2/7应该不错，但总感到C(6,1)是凑出来的。

色k

C(6,1) 是指在除今天外的任一天里选一天来值啊

走走看看

按理说，一周七天，哪天都行。
今天就不能值日吗？

走走看看

$y=x^6$
$y'=6x^5$

$假设设成 t=x^3，y=t^2$
y'=2t
再带回，此时y'=$2x^3$。
显然，前后不同。

走走看看

刚才想起来，这是换元求导造成的视觉偏差。

$今天早晨遇到一道求导题，含有e^x，e^{-x}。$
一种采用未换元的方式，很复杂；另一种方式，采用换元法，显得很简单。
然后，我简单地将换元的字母带回去，发现两者相差一个$e^x$，我还以为前者算错了。
算来算去，前者都不错，但就是两者不同。

$e^{2x}的换元与不换元，看起来形式上是不同的。$

色k

按理说，一周七天，哪天都行。
今天就不能值日吗？
走走看看 发表于 2017-10-1 08:20

就是今天值，还有另一天要值，所以在另外六天里选一天来值，所以就是C(6,1)！懂不懂！！

走走看看

回复 6# 色k


    明白了，非常感谢！

其妙

回复 5# 走走看看
主要是你还没学会复合函数求导法

走走看看

回复 8# 其妙

做过不少高考压轴题，都是复合函数的求导，只是有时发生点恍惚。

战巡

回复 4# 走走看看


求导必须注意你到底是在对什么东西求导
比如$y=x^6$，你要求导，是对$x$进行求导，当然会有
\[\frac{d}{dx}y=6x^5\]   
但你换元之后$y=t^2$，你求导就变成对$t$求导了，于是
\[\frac{d}{dt}y=2t\]
这时你如果直接带回去，当然不一样，因为你求得的东西本身就不一样，是
\[\frac{d}{dt}y=2t=2x^3\ne \frac{d}{dx}y\]
\[\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dt}y·\frac{dt}{dx}=2x^3·3x^2=6x^5\]

走走看看

谢谢楼上！

下面还有一个排列问题让我困惑。
有6个人站一排照相，其中，甲乙两人必须相邻，丙必须在乙之后，问有多少种排法？

解法一：
如果把甲乙捆绑在一起，总共为A(5,5)*A(2,2)=240种，
丙在乙之后 和 丙在乙之前，概率相等，因此，丙在乙之后有240*50%=120种。

解法二：
6个人占6个位置，任意取出3个位置来放甲乙丙3人C(6,3)，其他3个位置放3个人A(3,3)，
取出的3个位置有两种排法，甲乙丙  或  乙甲丙2种情况，
根据分步原理，有C(6,3)*A(3,3)*2=240种。

我的问题是，为什么前一种算法是120种，后一种算法是240种？昨天晚上到现在我都没有想明白。

请大师们赐教！

走走看看

刚刚想到原因，应该有两种以上常规方法。

刚想到一个常规方法。
取排头的2个放甲乙，再从右边剩下的4个中取1个，则有 C（4,1）
取第二、第三2个放甲乙，从右边的3个中取1个人，C（3,1）
同理，依次有C(2,1)、C(1,1)
3个位置的选择共有 C(4,1)+C(3,1)+C(2,1)+C(1,1)=10种取法
连着的2个位置，甲乙可以交换，2种，每次抽出3个后，剩下的3个全排列，所有有10*A(3,3)*2=120种。

走走看看

回复 1# 走走看看

还有一道题，参考答案不是说理，而是在胡编乱造。

某导演从5名演员中选取3名参加5场演出，其中第3场必须2人参加，其余各场只要1人参加，每人参加2场演出，其中演员甲不能参加第三场，且每位演员不能连续出场参加演出，则导演安排演出的方法种数为     。

这道题是2013 安徽省四校联考的题目

https://www.zybang.com/question/ ... 89f3dd5bc1dd69.html
网上的解答都是在拼凑答案。36种千真万确，但不是那样算的。
全网上没有看到正确解答，错误的原因是第四场、第五场安排同一个人，这明显违反了每位演员不能连续出场的题设条件。

其实我自己一开始算得也不对，我算的第一种情况是48，第二种情况24，共72种。
选择题中没有这个答案。
错误的原因是，甲不是四个位置都能安顿，在某些位置上，甲一上去就头昏，演不起来，所以，导演把他撤下了。

战巡

回复 11# 走走看看


你的解法二有很明显的问题

既然要求甲乙相邻，你就不能在6个位置里随意挑3个，这样万一没挑到相邻的，这种排列根本不能用，所以你这个方法大量高估了排列数量

游客

没有甲的，选人有4种方法，安排第三场有3种方法，第二和第四场只能剩下那人出演，第一和第五由演第三场的2人各演一场，有2种方法，共有4X3X2=24种方法；
有甲的，选人有6种方法，安排第三场就1种方法，第二和第四场只能甲出演，第一和第五由演第三场的2人各演一场，有2种方法，共有6X2=12种方法。
24+12=36。

走走看看

谢谢楼上两位，你们说得都很好！

走走看看

$[a^2+(-b)^2](c^2+d^2)≥[ac+(-b)d]^2$
$即 (a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac-bd)^2$

柯西不等式，通常是
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$

这岂不是说，柯西不等式，左边是相同的，右边可以是两样的吗？