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[函数] 六道多项式与根的题目,来做做

最近本论坛流行多项式与根的题目,下面是六道题,欢迎解答(好像有2道本论坛已经解决了?还有无其他方法?):
1blog图片.jpg
2017-9-24 14:57
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

本帖最后由 hejoseph 于 2017-9-23 19:06 编辑

1、2、4、6题都很简单,3、5题是同类型的,也不是很难。后两题都做过了。

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... 好像有2道本论坛已经解决了? ...
其妙 发表于 2017-9-23 18:04

楼主的说法方式总是这样的,心里明明很清楚地知道,却只说“好像。。。”,虽然这并没什么问题,只不过给我的感觉有点奇怪。
那就让我来给链接吧:
题5:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4850
题6:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4866
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing

还有其他的题

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第二题:令 $1/\alpha=t$,$1/\beta=t$,$1/\gamma=v$,则 $t$、$u$、$v$ 是方程 $x^3+2x^2+3x+4=0$ 的三个根,所以
\[
t+u+v=-2,tu+tv+uv=3,tuv=-4,
\]
令 $a_n=t^n+u^n+v^n$,则有
\[
a_{n+3}=-2a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n,
\]
取 $n=0$,则
\[
a_0=3,
\]
取 $n=1$,则
\[
a_1=t+u+v=-2,
\]
取 $n=2$,则
\[
a_2=t^2+u^2+v^2=(t+u+v)^2-2(tu+tv+uv)=-2,
\]
所以
\begin{align*}
&a_3=-2a_2-3a_1-4a_0=-2\times(-2)-3\times(-2)-4\times 3=-2,\\
&a_4=-2a_3-3a_2-4a_1=-2\times(-2)-3\times(-2)-4\times(-2)=18,\\
&a_5=-2a_4-3a_3-4a_2=-2\times 18-3\times(-2)-4\times(-2)=-22。
\end{align*}

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本帖最后由 hejoseph 于 2017-9-25 16:36 编辑

第四题:$\alpha_k=\cos(2k\pi/(n+1))+\mathrm i\sin(2k\pi/(n+1))$,则
\[
\frac{1}{\alpha_k-1}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm i\cot\frac{k\pi}{n+1},
\]
后面都容易,结果为 $-n/2$。

其他题目就不做了。

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回复 6# hejoseph

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本帖最后由 游客 于 2017-9-28 10:49 编辑

回复 6# hejoseph

第四题可以跟第一题一样的方法做。
未命名.PNG
2017-9-28 09:27

未命名.PNG
2017-9-28 10:49

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这都是台湾的题?很个性化。

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回复 8# 游客
当然是可以的,我只是用了我觉得最简单的方法去做。

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回复 8# 游客
“游客”高手又放大招了!再来一道:
6blog图片.png
2017-9-29 20:19
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 11# 其妙

两个根式和,其中一个是二次根式的都容易,都不是二次的就比较麻烦了

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回复 11# 其妙
找一个是不难的,证明是次数最低的以及是这次数下唯一的(系数成比例的视为一个)才是难的。

带两个根号的是不难的,带三个甚至更多的根号才是难的。

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回复 11# 其妙
发网友的证明:
考察$(x-\sqrt{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3=0$,展开移项有$x^3+6x-3=(3x^2+2)\sqrt{2}$,平方即有$f(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$,显然$f(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})=0$,因为$2,3$互素,因此最小多项式至少是$6$次,故$f(x)$就是最小多项式。

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未命名.PNG
2017-9-30 15:26

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回复 14# abababa
对你的网友很感兴趣,快说说,是何方神圣?

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有二次的都不会太难,可以试试这个:$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[5]{3}$

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回复 17# hejoseph
发网友的解答:$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}$
分别作$A,B$和$5,3$阶单位矩阵的张量积再求和,最后求此矩阵的特征多项式,这就是结果。
我用软件试了一下,确实是,结果是15次多项式。

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回复 16# zhcosin
人教论坛的maven网友。

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回复 18# abababa
这个15次多项式的答案是多少?

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