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[数列] 递推式$a_{n+1}=\abs{a_n}-a_{n-1}$,证其周期为$9$

设$\{a_n\}$是实数数列,满足递推关系:$a_{n+1}=\abs{a_n}-a_{n-1}$,证明:$\{a_n\}$是周期为$9$的周期数列。
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本帖最后由 力工 于 2017-9-25 20:36 编辑

与这个题类似?
已知${a_n}$满足$a1=1,|a_{n+1}|=|a_n+1|$,则$|a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2016}|$最小为1004.

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本帖最后由 游客 于 2017-9-25 16:17 编辑

1,-2,1,-2,…,1,-2,1,2,-3,-2,-1,0,1,2,这个数列怎样?
前面每相邻2项和均为-1,最后8项和为0。

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本帖最后由 力工 于 2017-9-25 20:37 编辑

回复 3# 游客
是啊,有问题,让我偷偷改下。

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设$ \{a_n\}$是实数数列,满足递推关系:$a_{n+1} =a_n−a_{n−1} $,证明:$\{a_n\}$是周期数列。

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本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-10 11:24 编辑

回复 5# 其妙

利用特征根方法求出数列通项,通项中含有 -1  的两个三次方虚根的幂的线性组合,这两个虚数的的三次方为 -1,自然六次方就为1,从而周期为6.

具体来说就是,特征方程$x^2=x-1$,其根是方程$x^3+1=0$除$-1$以外的其它两根:
\[ \alpha=\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}, \  \beta=\cos{\frac{\pi}{3}}-i\sin{\frac{\pi}{3}} \]
于是数列的通项具有形式
\[ a_n = u \alpha^n + v \beta^n \]
其中的$u$和$v$由数列的前两项所唯一确定(可能会是虚数),而因为$\alpha^3=-1$与$\beta^3=-1$知
\[ \alpha^6=1, \beta^6=1 \]
所以有 $a_{n+6}=a_n$.

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回复 6# zhcosin
是的,知道周期了,证明就更加容易了!
也可以先证明$a_{n+3}=-a_n$,故$a_{n+6}=a_n$

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回复 2# 力工
再来一道类似:
10blog图片.png
2017-9-30 18:35
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 6# zhcosin

“六次方为1,从而周期为7”??

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回复  zhcosin

“六次方为1,从而周期为7”??
色k 发表于 2017-9-30 22:23

我知道他看到会修改的,所以避开这个问题,但是一天后他还没修改彻底,于是只有再次回复了!他修改后就把本楼删去

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说了那么多,怎么没人撸楼主的题?

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让我来回归主题吧……

楼主的题还是挺难嘀,想来想去都免不了分类讨论,证得比较繁,不过毕竟算是证了出来。

注:由于要令绝对值自动增加长度以便观看,而 MathJax 不认识 \delimitershortfall 命令,只好在真 LaTeX 里写过程再贴图。

abs1.png
2017-10-1 18:56

abs2.png
2017-10-1 18:56

abs3.png
2017-10-1 18:56
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 12# kuing

isee该把那本书的答案公布了吧?

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回复 12# kuing
我只说:“666!”

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继续等标答……

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再催一次

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回复 9# 色k
脑袋被驴踢了

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回复 15# kuing


    标答应该比你的复杂,在我心中,你的解法就是标准答案。

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回复 15# kuing

有点意外,这个书的上解答,竟然有点短。

调整大小 sc.jpg
2017-10-13 01:42

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回复 19# isee
这个证法高呀

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