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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 平方+几何>对数+算术
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发表于 2017-9-15 16:44
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[不等式]
平方+几何>对数+算术
本帖最后由 isee 于 2017-9-18 22:37 编辑
证明:对$0<a<b$,成立$$\sqrt{\frac {a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}>\frac {a-b}{\ln a-\ln b}+\frac {a+b}2.$$
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发表于 2017-9-18 17:40
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只看该作者
首先证明如下不等式
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\left( \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}2 \right)^3. \quad (*)\]
不妨令 $b=t^3a$, $t>1$,则上式等价于
\[\frac{t^3-1}{3\ln t}<\left( \frac{t+1}2 \right)^3,\]
即
\[\ln t>\frac{8(t^3-1)}{3(t+1)^3},\]
而这正是这帖
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =2517&pid=16393
第30楼证过的,所以式 (*) 成立。
于是,要证原不等式,只需证
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}\geqslant \left( \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}2 \right)^3+\frac{a+b}2,\]
作置换 $(a,b)\to(a^6,b^6)$,只需证
\[\frac{a^{12}+b^{12}}2\geqslant \left( \left( \frac{a^2+b^2}2 \right)^3+\frac{a^6+b^6}2-a^3b^3 \right)^2,\]
因式分解后为
\[\frac1{64}(a-b)^2(7 a^{10}+14 a^9 b-9 a^8 b^2+48 a^7 b^3+66 a^6 b^4+132 a^5 b^5+66 a^4 b^6+48 a^3 b^7-9 a^2 b^8+14 a b^9+7 b^{10})\geqslant 0,\]
显然成立,即得证。
PS、这标题如果是我的话会取“平方+几何>对数+算术”
PS2、原不等式虽然非常优美,但论实用性还是上面的式 (*) 好,那是个很强的估计。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2017-9-18 22:55
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kuing
改头换面了,,,“偷梁换柱”
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发表于 2017-9-18 22:58
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不过,原题是几何均值在右,算术均值也在左。用的
减法
。
我也“偷梁换柱”对换了下,改成加法了,不过,是否能解题思路有影响,就不知道了,哈哈。
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发表于 2017-9-18 23:10
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isee
没所谓啦,不过如果非让我选一个,我会选减法,因为这样“距离感”强些:
若记平方平均为 M,对数平均为 S,那四个量的大小关系是 M>A>S>G,原不等式用减法写就是 M-A>S-G,感觉上就是 |MA|>|SG|。
而且还会有其他类似不等式,于是就可以将有确定关系的各种“距离”串成一条链……
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kuing
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kuing
从证法上我也曾经往这方向考虑过,因为以前曾经证明过 |MA|>|GH|(撸题集题目 3.5.11),所以就想会不会有 |GH|>|SG|,可惜不成功,就差一点点(在 a:b 很小的时候不成立),如果成立就好了,毕竟少了一个根号。
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发表于 2017-10-15 14:38
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这题的参考答案是如何?
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发表于 2017-10-15 14:57
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本帖最后由 isee 于 2017-10-15 15:04 编辑
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色k
仅把 对数无值留右边,令$b=a(1+x)^2$,欲证不等式化为$$\ln(1+x)>\frac{x^2+2x}{\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2},x>0.$$
强行求导,得到12次方程。
不过,用的高等数学写法,可能与是一种经典证法吧,全文如下——
lninq.jpg
(50.42 KB)
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2017-10-15 15:03
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发表于 2017-10-15 15:21
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isee
也是个暴~力~流……
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发表于 2017-10-15 16:14
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kuing
冯贝叶喜欢计算型的解答,比如那个 ∠A=60∘∠A=60∘ 的充要条件是PI=2QI,两种解法(一个是建系,一个是三角)整三页半纸,……
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