[数列] $\frac 1n+\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{nk-1}>\frac32.$

isee

若$k>7,k,n\in \mathrm N+$，求证：$$\frac 1n+\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{nk-1}>\frac32.$$

kuing

看看《撸题集》第 1019 页开头就知道怎么做了。

isee

回复 2# kuing


    高考范围或略超一点点的，一般都会被你秒。。。佩服佩服。。。
    我看看去。。。看了，难怪标答用柯西，原来就是柯西套路。。。

    不过，我看的1018的结尾……

kuing

回复 3# isee

你看完1019那里的就会把柯西的扔掉了……

abababa

$n=1$时显然成立，假设$n=m$时成立，即有$\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{mk-1}>\frac{3}{2}$，则$n=m+1$时
\begin{align*}
\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+1+1}+\cdots\frac{1}{(m+1)k-1}&=(\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{mk-1})-\frac{1}{m}+\frac{1}{mk}+\frac{1}{mk+1}+\cdots+\frac{1}{mk-1+k}\\
&>\frac{3}{2}+(-\frac{1}{m}+\frac{1}{mk}+\frac{1}{mk+1}+\cdots+\frac{1}{mk-1+k})\\
&>\frac{3}{2}-\frac{1}{m}+\underbrace{\frac{1}{mk}+\frac{1}{mk}+\cdots+\frac{1}{mk}}_{k个}>\frac{3}{2}
\end{align*}

kuing

回复 5# abababa

最后一行反了。

isee

回复 6# kuing


    本题数归的难点。。。。又要abababa 检查下了，，，，普通高中题。。。。

    这个和是递减的，需调整为递增，才可能数归成功。。

isee

回复 2# kuing

还需要理解转化一下。。。

kuing

回复 8# isee

这还需要什么转化理解啊，1019 页一开头不就有个 $\frac1k>\ln\frac{k+1}k$ 吗？套到这里立得原式 $>\ln k$，所以这题其实只需 $k>e^{3/2}\approx 4.482$ 即 $k\geqslant5$ 即可，根本不需要 7 这么大。

isee

回复 9# kuing

晕了，我这题里的分母是从$n$开始的，1019是从$n+1$开始的，我正在想$>\ln \frac {nk}{n+1}$中的$n$太烦人了……怎么看还是柯西适服些

这样一来，，，，，，果然4楼是赞！

thx

abababa

回复 6# kuing

确实，这样放缩不行，暂时没再想数学归纳法去做。

isee

回复 11# abababa


    我看到某种过程，不过，被我无视了，要调整成递增很费劲，感觉，有空时，我去查查，如果查到，我帖上来。

kuing

回复  abababa


    我看到某种过程，不过，被我无视了，要调整成递增很费劲，感觉，有空时，我去查查， ...
isee 发表于 2017-9-15 23:43

不用找了，俺现在给你一个：
加强为：
\[\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{nk-1}>\frac32,\]
这次就真的需要 $k\geqslant8$ 了（为了让 $n=1$ 也成立）。

isee

回复 13# kuing


    还真把1/n丢了。。。。。

kuing

回复 14# isee

嗯，另外，既然都递增了，就完全没必要去写数归了

试一试公式反白：
\[f(m+1)-f(m)=\frac1{mk}+\frac1{mk+1}+\cdots+\frac1{(m+1)k-1}-\frac1{m+1}>\frac k{(m+1)k-1}-\frac1{m+1}>0.\]

isee

回复 13# kuing


    结合15楼，我觉得我看到的数归很很很有可能就是证明的这个！
   
    其次，这个，保留前两项，从第三项用老办法放缩亦可。

isee

$n=1$时显然成立，假设$n=m$时成立，即有$\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{mk-1}>\frac{3}{2}$ ...
abababa 发表于 2017-9-15 20:08

====原文就是加强为13楼命题数归的====图片撤掉。。。

kuing

回复 17# isee

写到这里就结束了吗？没再反思？

isee

回复 18# kuing


    就是更换命题为13楼，和你一样，所以把图片撤掉了。

   有，就是和式是递减的，所以直接数归是不通的，找个（和式递增）更强的命题。

   在高考范围内以题说解法，没涉及本质。

kuing

回复 19# isee

关键是他后面有没有提到加强之后就根本没必要再写数归了？