[数列] 能否找一个有上界的难亲数列

isee

如果正实数无穷数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$对不同的正整数$i,j(i<j)$，都有$\abs{a_i-a_j}\geqslant \dfrac 1j$，那么就称为难亲数列。能否找一个有上界的难亲数列？

zhcosin

初步想了下，好像是可以的，而且所有点都可以被限制在一个长度为2的闭区间上，当前$n$个点都确定后，$a_{n+1}$就不能落在前$n$个点以每一个点为中心半径为$\frac{1}{n+1}$的开邻域内，这些邻域的总长不超过$\frac{2n}{n+1}<2$，所以如果前$n$个点都被限制在一个长度为2的闭区间上的话，则这闭区间仍然有空隙可以容得下$a_{n+1}$，因此结论应该是可以的。

zhcosin

再考虑构造出一个方法，让所有点都落在区间$[0,2]$上，首先让$a_1=0$，$a_2=2$，以后的点的确定，采用反复分割区间取中点的方法:

第一次分割前，区间数目为1，每个区间长度为2，按区间中点分割$a_3=1$，分割后区间数目为2，每个区间长度为1
第二次分割前，区间数目为2，每个区间长度为1，取各个区间中点为分割$a_4=1/2$，$a_5=3/2$，分割后区间数目为$2^2$，每个区间长度为$\frac{1}{2}$
第三次分割前，区间数目为$2^2$，每个区间长度为$\frac{1}{2}$，各个区间中点$a_6=1/4$，$a_7=3/4$,$a_8=5/4$,$a_9=7/4$，分割后区间数目为$2^3$，每个区间长度为$\frac{1}{2^2}$
。。。。。。。
第$n+1$次分割前，区间数目为$2^n$，每个区间长度为$\frac{1}{2^{n-1}}$，各个区间中点$a_{2^n+2+i}=\frac{2i+1}{2^n}(i=0,1,\cdots,2^n-1)$，分割后区间数目为$2^{n+1}$，每个区间长度为$\frac{1}{2^n}$.

按此方法可以确定$a_n$，把$n$改写为$n=2^m+2+i(i=0,1,\cdots,2^m-1)$，于是$m=[\log_2(n-2)]$，$i=n-2^{[\log_2(n-2)]}$,这里中括号是向下取整，在这种表示下，就有
\[ a_{2^m+2+i}=\frac{2i+1}{2^m} \]
或者写成
\[ a_n=\frac{1+2(n-2-2^{[\log_2(n-2)]})}{2^{[\log_2(n-2)]}} \]
后者其实还不如前一种好看。

在这种分法下，$a_{2^m+2+i}(i=0,1,\cdots,2^m-1)$是第$m+1$次分割产生的分点，而在这一次分割后，每个区间的长度为$\frac{1}{2^m}$，所以到这一次分割后为止，所得到的$a_i$中的最大下标是$2^{m+1}+1$，即$i=2^m-1$的那个分点,此时任意两个$a_i$之差都$\geqslant \frac{1}{2^m}>\frac{1}{2^m+2+i}$，因此，由这分割所确定的数列符合要求。

isee

回复 3# zhcosin


    啧啧，厉害厉害！大致看了解答过程，理应没问题。。。。。另外，此题“无完全一至”的标准答案。。。。。