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本帖最后由 战巡 于 2017-9-8 01:33 编辑

回复 9# kuing

那个已经是过时技术了....................
新版是这样的


\[f(x)=\sum_{k=0}^ne^{kx}=\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^x-1}\]
然后当$m$为自然数,且$q>0,q\ne 1$时,有
\[\sum_{k=0}^nk^mq^k=f^{(m)}(\ln(q))\]
当$q=1$时取$x\to 0$的极限即可

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回复 6# isee


首先泰勒展开可以得到
\[x^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^k\]
而令$\ln(x)=-y$就有
\[\int_0^1\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^kdx=\int_0^{\infty}\frac{1}{k!}(-ye^{-y})^ke^{-y}dy=\frac{(-1)^k}{k!}\int_0^{\infty}y^ke^{-(k+1)y}dy\]
\[=\frac{(-1)^k}{k!}·\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}=\frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}\]
剩下就显然了

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