回复 6# isee
首先泰勒展开可以得到
\[x^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^k\]
而令$\ln(x)=-y$就有
\[\int_0^1\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^kdx=\int_0^{\infty}\frac{1}{k!}(-ye^{-y})^ke^{-y}dy=\frac{(-1)^k}{k!}\int_0^{\infty}y^ke^{-(k+1)y}dy\]
\[=\frac{(-1)^k}{k!}·\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}=\frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}\]
剩下就显然了 |