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[数列] 求证$\sum \frac 1{2^k-1}<\frac 53$

本帖最后由 isee 于 2017-8-30 14:35 编辑

即,求证:$$\frac 1{2-1}+\frac 1{2^2-1}+\cdots+\frac 1{2^n-1}<\frac 53.$$



PS: 应该是faq,kuing暂且缓三天,再帖出链接吧
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本帖最后由 v6mm131 于 2017-8-30 16:20 编辑

回复 1# isee

很松啊 放一下就到位了,注意到:$k\ge2$时
\[\frac{1}{2^k-1}\le \frac{2}{3}\frac{1}{2^{k-1}}\]

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回复  isee

很松啊 放一下就到位了,注意到:$k\ge2$时
\[\frac{1}{2^k-1}\le \frac{2}{3}\frac{1} ...
v6mm131 发表于 2017-8-30 16:18


这个厉害,简直就是标答一般。

这个放缩是如何得到的?

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本帖最后由 v6mm131 于 2017-8-31 16:50 编辑

回复 3# isee

纯属巧合吧,我觉得可以这么考虑
$k>2,2^k-1=1+2+\cdots+2^{k-1}$,可以尝试保留最后两项$2^{k-1},2^{k-2}$,试一试能否达到精度要求,试一试运气还可以。当然这个方法不能包打所有。

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回复 3# isee
设an=(a1*(1-q^n))/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,观察前面的式子,可令q=1/2这里的q可以不一样(但是为了后面的分析法容易证明)解得a1=5/6;0x2 现在an=5/3*(1-1/2^n),利用分析法比较1/(2^n-1)<5/3*(1-1/2^n)(选取1/2也是因为这里比较容易证明)这时你就会发现第一项不满足(1>5/6)但从第二项开始,后面的每一项都小于,所以我们第一项单独提出来说明(1<5/3利用原式子),因为从第二项开始都小于,所以每一项相加也同样小于。综上该不等式成立。

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本帖最后由 色k 于 2017-8-31 22:58 编辑

按这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4823&pid=22620  13楼的分析,v6的放缩就是取 $m=2$ 的情形,这时 $p=f(2)=1/3$, $q=1-\frac{f(2)}{5/3-f(1)}=1/2$,所以放缩就是 $f(k)\le 1/3\cdot 1/2^{k-2}$。

至于楼上的,粗略看了下,感觉很有问题。

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回复 6# 色k

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回复  isee
设an=(a1*(1-q^n))/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,观 ...
力工 发表于 2017-8-31 20:23


这个思路是好的,与kuing的方法一致,不过,似乎要牵扯到了“数学归纳法”证明思路,但这里有问题。

可把原和式第一项剔出,从第二项构造。

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本帖最后由 isee 于 2017-9-5 22:20 编辑

综合一下 v6mm131 与 kuing 的放缩,也结合个人心得把这个题的过程完整写一下。


$$2^n-1>2^n-2^{n-2},n\geqslant 2\Rightarrow\frac 1{2^n-1}\leqslant \frac 1{2^n-2^{n-2}}=\frac 13\cdot\frac 1{2^{n-2}}.$$于是:
\begin{align*}
S_n=1+\frac 13+\frac 17+\frac 1{15}\cdots+\frac 1{2^n-1}&\leqslant 1+\frac 13+\frac 16+\frac 1{12}+\cdots+\frac 13\cdot\frac 1{2^{n-2}}\\
&<1+\frac {1/3}{1-1/2}\\
&=\frac 53
\end{align*}

PS:从常数1($2^n-1$)中的1,放缩。

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