[函数] 根式函数的值域

郝酒

1. 求$y=x+\sqrt{x^2-3x+2}$的值域.
突然短路了，变换主元后竟然不会解了。
2. $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x}$
最小值为什么在$x=0$处取得？
最大值用柯西不等式，但是怎么确定柯西不等式的系数呢？

kuing

第二个，因为根号函数为上凸函数，上凸的和还是上凸，所以最小值必在定义域端点处取得，比较一下两端的大小即可。
至于最大值，看 http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... 352&pid=4827316 （10楼）

kuing

第一个，$y=x+\sqrt{(x-1)(x-2)}$，定义域为 $(-\infty,1]\cup[2,+\infty)$。

对于 $x\in[2,+\infty)$，显然 $y\ge x\ge2$ 且可以无穷大，当 $x=2$ 时取等，所以这部分的值域是 $[2,+\infty)$；

对于 $x\in(-\infty,1]$，因为 $(1-x)(2-x)\ge(1-x)^2$，故 $y\ge x+1-x=1$，当 $x=1$ 时取等，又由均值有
\[y<x+\frac{1-x+2-x}2=\frac32,\]
且
\[y=\frac{-3x+2}{\sqrt{x^2-3x+2}-x}
=\frac{3-\frac2x}{\sqrt{1-\frac3x+\frac2{x^2}}+1}
\riff \lim_{x\to-\infty}y=\frac32,\]
所以这部分的值域是 $[1,3/2)$。

综上所述，$y$ 的值域为 $[1,3/2)\cup[2,+\infty)$。

realnumber

两题直接求导都可以解决的

郝酒

ku版能解释下，为什么上凸函数的和仍是上凸函数吗？感觉不太理解

kuing

回复 5# 郝酒

$f''(x)<0$, $g''(x)<0$ 则 $\bigl(f(x)+g(x)\bigr)''=f''(x)+g''(x)<0$ 这样能理解吗？

zhcosin

回复 5# 郝酒
你知道上凸函数的定义吗，何不拿定义推一下?

郝酒

回复 6# kuing
理解啦

其妙

老掉牙的两道FAQ