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导函数与原函数的大小关系。

有一些函数是在定义区间上恒大于其导函数(取绝对值的情况下),例如$f(x)=2^x$,就有$\abs{f(x)}>\abs{f'(x)}$,下面记这种性质是性质$P$。还有一些是相反的,取绝对值的情况下导函数恒大于原函数,(只要把前例改个数字就能举例:$f(x)=5^x,\abs{f(x)}<\abs{f'(x)}$)。这种关系有没有更进一步的结论,对一般的函数,哪些有这种性质P,或者说从函数的另外一些性质就一定能推出函数有性质P(或没有)。
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有两个零点的函数一定没有
有零点的多项式一定没有

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$g(x)=e^{-x}f(x) \riff g'(x)=-e^{-x}(f(x)-f'(x))$,所以:
当 $e^{-x}f(x)$ 递减时,若 $f'(x)$ 恒非负,则有 $P$,若 $f(x)$ 恒非正,则有反向的 $P$;
当 $e^{-x}f(x)$ 递增时,若 $f(x)$ 恒非负,则有反向的 $P$,若 $f'(x)$ 恒非正,则有 $P$。

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回复 2# kuing

这样看来,如果又要满足$\abs{f(x)}\ge\abs{f'(x)}$,又要有零点,这函数就只能是恒为零了。

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