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微积分与数学分析学习帖

本帖最后由 zhcosin 于 2018-1-21 22:33 编辑

高等数学版块比较冷清,我来开个帖子自娱自乐吧,随时写点微积分的学习笔记什么的。PDF 文件发布在 https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf

参考书:
1. 华东师范大学数学系《数学分析》(上、下) 高等教育出版社
2. [前苏联]菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》(三卷本) 高等教育出版社
3. 华罗庚. 高等数学引论(共四册). 高等教育出版社.
4. [美]约翰 柯朗 微积分与数学分析引论. 科学出版社.
5. [前苏联]吉米诺维奇 数学分析习题集. 高等教育出版社.
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本帖最后由 zhcosin 于 2022-3-4 21:02 编辑

利用导函数介值性定理证明拉格朗日中值定理
微信图片_20220304210214.png
2022-3-4 21:02
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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回复 28# hbghlyj
这个证明貌似在哪看到过,国内的教材

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Stolz定理

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-27 00:40 编辑

回复 19# hbghlyj
这份讲义的60页的证明:
Theorem 2.3.11 (O.Stolz) Suppose $\left(x_{n}\right)$ and $\left(y_{n}\right)$ are two sequences of real numbers such that
(i) $y_{n} \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$,
(ii) $\left(y_{n}\right)$ is a strictly increasing sequence (for large $\left.n\right)$, and
(iii) the limit
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
exists or tends to $\infty$ or $-\infty$. Then
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
Proof. The proof is similar to the proof of Theorem 2.3.6. Consider the case that $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}$ is a number. Then for every $\varepsilon>0$ there is $N$ such that for $n>N$ we have
$$
\left|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}-l\right|<\frac{\varepsilon}{2} .
$$
Since $\left(y_{n}\right)$ is strictly increasing eventually, so we can choose $N$ big enough so that $y_{k}-$ $y_{k-1}>0$ for all $k>N$ and therefore
$$
-\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{k}-y_{k-1}\right)<x_{k}-y_{k-1}-l\left(y_{k}-y_{k-1}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{k}-y_{k-1}\right)
$$
Adding these inequalities over $k=N+1, \cdots, n$, where $n>N$, we obtain that
$$
-\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{n}-y_{N}\right)<x_{n}-y_{N}-l\left(y_{n}-y_{N}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{n}-y_{N}\right)
$$
which can be written as, since $y_{n}-y_{N}>0$
$$
\left|\frac{x_{n}-x_{N}}{y_{n}-y_{N}}-l\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
for all $n>N .$ Next we use the identity (similar to that in the proof of Theorem 2.3.6)
$$
\frac{x_{n}}{y_{n}}-l=\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}+\left(1-\frac{y_{N}}{y_{n}}\right)\left(\frac{x_{n}-x_{N}}{y_{n}-y_{N}}-l\right)
$$
so that
$$
\left|\frac{x_{n}}{y_{n}}-l\right|<\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|+\frac{\varepsilon}{2}
$$
for every $n>N$. Since $y_{n} \rightarrow \infty$ so that
$$
\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}} \rightarrow 0 \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Therefore there is $N_{1}>N$ such that
$$
\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \text { for } n>N_{1}
$$
and therefore
$$
\left|\frac{x_{n}}{y_{n}}-l\right|<\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
$$
for every $n>N_{1}$. By definition
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
and the proof is complete.$\blacksquare$
As as example, if $k$ is a positive integer, then we can show (Exercise) by Stolz's theorem that
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}
$$

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回复 28# hbghlyj
这个我也想过,但是工程量会比较大,还是以后再说,先学习要紧。

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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-2-10 19:07 编辑

建议楼主也整一个在线版,这样可以被更多人搜索到
例如https://www.jirka.org/ra/html/sec_ift.html
现在有tex4ht,pandoc,latexml,pretext这些工具也比较方便

或者可以直接发到论坛上,"发帖选项"可以勾选"Html代码"
比如这帖
因为页面太长了,我把3个帖子分为1页...这样的话原先的那些链接如果被分到不同的页就失效了,需要手动去找链接位置...但是这个影响不太大,因为大多数的链接都是在章节内引用,所以不会被分到不同的页

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春节综合征还没过

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楼主又有空撸数学了

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回复 20# hbghlyj
笔记中绝大部分内容我都是自行推证的,即便一时半会想不出,宁可空着,实在搞不定了,只有先学习一下书上的证明,再用自己的理解叙述出来,绝对不会照搬的,不然就失去了笔记的意义.

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回复 17# hbghlyj
多谢指出,我来一一修改下.

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很久很久没动了。。。
微信截图_20220209165437.png
2022-2-9 17:03

微信截图_20220209165449.png
2022-2-9 17:03
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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本帖最后由 realnumber 于 2021-5-21 10:43 编辑

这个会,等比数列求和公式,确实错了,$2ε\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^m})}{1-\frac{1}{2}}$

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-17 16:39 编辑

Stolz定理的证明标红的步骤不理解 能否解释一下
1.png
2021-5-17 16:35

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-21 16:04 编辑

1.png
2021-5-17 01:46

第15页这里的“a≠1”似乎有些多余
1.png
2021-5-17 01:55

第16页"$+\frac1{2!}z_n^2$"这一项应该是$+\frac{n(n-1)}{2!}z_n^2$吧
1.png
2021-5-17 16:02

第23页定理的叙述用的是$x_n,y_n$但证明中用的是$a_n,b_n$
1.png
2021-5-18 14:39

证明中的不等式方向和题干相反
1.png
2021-5-21 16:03

第54页这里似乎应有链接,但是变为了两个问号

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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-16 15:18 编辑

1.png
2021-5-16 15:13

书中Page14的这个证明好像默认了q>0但题干中q应该可以$\le$0吧
建议改为$\ln{|q|}$

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回复 15# hbghlyj

正如上次这帖一样,可以在楼主的 github 里找到:https://github.com/zhcosin/calculus-notes

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1#链接失效了

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学习,加油!

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