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微积分与数学分析学习帖

本帖最后由 zhcosin 于 2018-1-21 22:33 编辑

高等数学版块比较冷清,我来开个帖子自娱自乐吧,随时写点微积分的学习笔记什么的。PDF 文件发布在 https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf

参考书:
1. 华东师范大学数学系《数学分析》(上、下) 高等教育出版社
2. [前苏联]菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》(三卷本) 高等教育出版社
3. 华罗庚. 高等数学引论(共四册). 高等教育出版社.
4. [美]约翰 柯朗 微积分与数学分析引论. 科学出版社.
5. [前苏联]吉米诺维奇 数学分析习题集. 高等教育出版社.
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可以得反常积分来判别一类正项级数的敛散性.
积分判别法 若可积函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上恒取非负值且单调递减,则反常积分$\int_0^{+\infty}f(x)dx$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$有相同的敛散性。

证明  令$S_n=\sum_{i=1}^nf(i)$,$I_n=\int_0^nf(x)dx$,则$S_n$和$I_n$都是单调增加的数列,又
  \[ I_n=\sum_{i=1}^n\int_{i-1}^if(x)dx \]
  由单调性,有
  \[ \sum_{i=1}^nf(i) \leqslant I_n \leqslant \sum_{i=1}^nf(i-1) \]
  即
  \[ S_n \leqslant I_n \leqslant f(0)+S_{n-1} \]
  可见,如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛,则$S_n$有极限$S$,则$I_n$单调增加并有上界$f(0)+S$,因而$I_n$有极限(不一定是$S$),即反常积分$\int_{i=1}^{+\infty}f(x)dx$收敛。反之,如果反常积分收敛,则$I_n$有极限$I$,这时$S_n$单调增加并有上界$I$,因此$S_n$收敛,即级数$\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$收敛。

需要说明的是,上述定理中的区间可以是任意的左闭右开区间$[a,+\infty)$,这时级数只要从大于$a$的任一正整数开始即可,从定理证明过程可以看出这并没有什么影响。

  对于正实数$p$,考虑如下的级数
  \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \]
  对应的函数$f(x)=1/x^p$在$[1/2,+\infty)$上单调递减,由于$p>1$时反常积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$收敛,所以此时级数也收敛,在$p \leqslant 1$时反常积分是发散的,所以此时级数也是发散的。

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懒得弄代码了,复制过来还要改来改去的,直接截图算了。
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2017-6-26 15:26

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极限部分的大纲,内容待完善.
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2017-9-19 13:50

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补充了复数基础:
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2017-9-25 18:52

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回复 6# zhcosin
出版,出版!

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回复 7# 力工
个人笔记而已,没有出版价值,微积分领域的权威教材多的是。

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进行到一元函数微分学部分了哎....
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数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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