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[几何] 平凡但较难证明的几何题:中点+等线段

本帖最后由 isee 于 2017-6-14 20:41 编辑

题目:如图,Rt$\triangle ADE\sim$Rt$\triangle ABC$(两三角镜面相似),连接$CE$,取$CE$中点$F$.
求证:$FB = DF$且$\angle DFB = 2\angle ACB$.


好几年了,还好得到个“伪”复数证明。随后帖,玩下,先。
sim.png
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本帖最后由 乌贼 于 2017-6-14 22:10 编辑

211.png
2017-6-14 21:59

\[ \triangle ADE\cong \triangle ADE_1\cong \triangle AD'E'\cong \triangle AD'E'_1\\\triangle ABC\cong \triangle ABC_1\cong \triangle AB'C'\cong \triangle AB'C'_1 \]
还有角:\[\begin{align*}
\angle DFB&=\angle DFE+\angle EFB=\angle E'CE+\angle ECC_1+\angle FBC\\&=\angle E'CA+\angle ACF+\angle ECC'+\angle EC'C\\&=\angle ACF+\angle ECC'+\angle EC'C+\angle ECE'\\&=2\angle ACB
\end{align*}  \]

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俩三角形还是不要重叠比较好看,下面狠心地将它们分开一下,也就是画成下面这样子,结论应该一样。

QQ截图20170614224900.png
2017-6-14 22:58


这样是熟悉的图形,你没记错,《撸题集》里有一样的图形(在哪页自己找喔),照套那里的法子,有
\[\frac{BC'}{AH}=\tan\alpha=\frac{DE'}{AH}
\riff BC'=DE',\]
由 $F$ 为中点有 $KC'=KE'$,所以 $KB=KD$,即 $FB=FD$。


\[\frac{CC'}{BH}=\tan\alpha=\frac{EE'}{DH},\]

\[FK=\frac12(CC'+EE')=\frac12(BH+DH)\tan\alpha=BK\tan\alpha,\]
可见 $\angle FBD=\angle FDB=\alpha$,从而 $\angle DFB = 2\angle ACB$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing

要是真按楼主的原图来作同样的辅助线,会成这个样子:

QQ截图20170614230900.png
2017-6-14 23:10


表示已经有点眼花,不过还是能分辨出来的,这时,楼上的证法前半不用变,而后半则改为
\[FK=\frac12(CC'-EE')=\frac12(BH-DH)\tan\alpha=BK\tan\alpha,\]
结论如无意外地相同了。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 isee 于 2017-6-14 23:20 编辑
\[ \triangle ADE\cong \triangle ADE_1\cong \triangle AD'E'\cong \triangle AD'E'_1\\\triangle ABC\co ...
乌贼 发表于 2017-6-14 21:40


这个证得极公平咯,大的小的均串一起。


其实麻烦了。

把只要有E'的都擦掉,同样的只有要C’都擦掉,剩余的图足够用了。

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本帖最后由 isee 于 2017-6-14 23:21 编辑
俩三角形还是不要重叠比较好看,下面狠心地将它们分开一下,也就是画成下面这样子,结论应该一样。



这样 ...
kuing 发表于 2017-6-14 22:53


还是熟悉的“味道”。

==================
与图形的位置无关,结果均成立。

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回复 5# isee

乌贼那图我一瞄就眼花,不敢看……

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回复楼上两位,我的证明往往是通过画图的过程画出来的,也不想擦掉了

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回复 5# isee
想简单明了
212.png
2017-6-14 23:39

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回复 8# 乌贼


    这叫反思。。。。。。

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回复 10# isee
为得到图形,我得先画等腰梯形$B'BC'C$,然后……

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回复 9# 乌贼

这样就好看多了,而且仅看图都能知道怎么证了,可省去文字,nice proof !

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本帖最后由 乌贼 于 2017-6-15 00:13 编辑

我说怎么那么眼熟,与链接6楼差不多,等边变等腰,连接$CE$,取中点再和$D,G$连接就是本题了
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D3

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本帖最后由 isee 于 2017-6-18 16:12 编辑

在9楼的形中





图中两个阴影三角是全等的,可以将其中一个旋转而得到另一个。

用复数与向量表示就是(所以说是“伪”复数法):

记$$\angle CAB=\angle EAD=\theta,$$则

$$2\vv {FB}=\vv {AC}\cdot\mathrm {e}^{2\theta\mathrm i}-\vv {AE}.$$

$$2\vv {FD}=\vv {AE}\cdot\mathrm e^{-2\theta\mathrm i}-\vv {AC}.$$

$$2\vv {FD}\cdot\mathrm e^{2\theta\mathrm i}=\vv {AE}-\vv {AC}\cdot\mathrm e^{2\theta\mathrm i}=-2\vv {FB}.$$

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向量另证,受kuing在特殊情况中下的提示,证“垂直平分”。整理 by iC。



记$$\frac {DE}{AD}=
\frac{CB}{AB}=k.$$
连接$DB$,并取其中点$G$,连接$FG$,则在四边形$DBCE$中(如果不习惯主楼图,请看3楼图)$$2\vv {GF}=\vv{BC}+\vv{DE}=k\cdot \vv{BA}\cdot \mathrm i+k\cdot \vv{AD}\cdot \mathrm i=k(\vv{BA}+\vv{AD})\cdot \mathrm i=2k\vv{DG}\cdot \mathrm i=2k\vv{GB}\cdot \mathrm i.$$
这表明$$FG \perp DB,\triangle DGF\sim \triangle ABC.$$
于是结论得证.

这是“真向量”证明,终于了结了,我多年的“心事”。

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回复 15# isee

我对几何还是不及你敏锐,昨天证了那题,完全想不起这题……

PS、擅自给“特殊情况”加了昨天那题的链接及修改了一处笔误

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