[数列] 浙江2017年高考22题的拓展

力工

做讲这题就是那点破方法，老师讲不出新意，大神们觉得可以拓展下吗？
已知$\{x_n\}$满足$x_1=1,x_n=x_{n+1}+ln(1+x_{n+1})$，求证：(1)$0<x_{n+1}<x_n$；(2)$2x_{n+1}-x_n\leqslant \dfrac{x_nx_{n+1}}{2}$；(3)$\dfrac{1}{2^{n-1}}\leqslant x_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n-2}}$.

zhcosin

一般递推都喜欢用 $x_{n+1}=f(x_n)$，但这里却是相反的$x_n=f(x_{n+1})$，而且想要反解出$x_{n+1}=f^{-1}(x_n)$都做不到，这实际上涉及到隐函数，所以，从隐函数的角度来讨论下它，不知算不算新意。

力工

回复 2# zhcosin

这个觉得可以是反函数。由$x_n=f(x_{n+1})$递增，则$x_{n+1}=f^{-1}(x_n)$也递增，故$x_{n+1}<x_n$.
递推关系可以变一变吗？

realnumber

$\frac{x}{\sqrt{1+x}}\le \ln{(1+x)}\le x$,或更紧凑的不等式能否直接处理（3）（如果没有2这个提示的话）。
递推关系修改为$x_n=x_{n+1}+\sin{x_{n+1}}，x_1=1$等又如何？

isee

回复 1# 力工


    至少得把原证给出来吧？

力工

回复 5# isee

原证？其实与公布的答案差不多啊，所谓什么什么其实我觉得都一样，听着没点意思。