[几何] 2017年理科 课标全国卷II 第12题 向量积最小

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2017年理科 课标全国卷II 第12题

已知$\triangle ABC$是边长为2的正三角形，$P$为平面$ABC$内一点，则$\vv{PA} \cdot (\vv{PB}+\vv{PC})$的最小值是____

如图，取BC中点D，则P为AD中点时，所求取最小，选B。当然，上坐标系也一定能搞定。

具体过程 by zhcosin，写得很顺爽——

\begin{align*}
\vv {PA}\cdot (\vv {PB}+\vv {PC})&=2\vv {PA}\cdot \vv {PD}\\
&=PA^2+PD^2-AD^2\\
&\geqslant 2\left(\frac {PA+PD}2\right)^2-AD^2\\
&\geqslant AD^2/2-AD^2\\
&=-\frac 12AD^2
\end{align*}


注，PA之类表平面几何中的线段。
PS:向量转化为三个平方的和差式，也称余弦定理的向量形式。



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看20楼

zhcosin

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2017-6-10 11:33

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2017-6-10 11:33

isee

zhcosin 发表于 2017-6-10 11:33

   

isee

zhcosin 发表于 2017-6-10 11:33

    把几何解答的第二行代码丢上来呀，文字版的才能长期留存。。。

乌贼

我关注的是有什么几何意义

isee

我关注的是有什么几何意义
乌贼 发表于 2017-6-10 13:30

   可能应该 就是顶楼的几句话。。。。。。。。

其妙

正三角形条件改为：AB=1，AC=2，∠BAC=60度，所求式子不变，则本题最小值答案是多少？

isee

正三角形条件改为：AB=1，AC=2，∠BAC=60度，所求式子不变，则本题最小值答案是多少？ ...
其妙 发表于 2017-6-10 15:31

自已上坐标算，算了再……

isee

正三角形条件改为：AB=1，AC=2，∠BAC=60度，所求式子不变，则本题最小值答案是多少？ ...
其妙 发表于 2017-6-10 15:31

    正说，不其你出现呢。。。。

敬畏数学

此题跟三角形无关。最小值就是-1/2AD²。那么AD=1/2（AB+AC）.OVER.最后玩这个啊啊

其妙

回复 10# 敬畏数学
方法是会的，我要结果

其妙

正说，不其你出现呢。。。。
isee 发表于 2017-6-10 16:01

被“zhcosin”发在qq群的链接引进来了

zhcosin

回复 12# 其妙
其实我的那些帖子都是骗点击量的

zhcosin

回复 4# isee
就这么几个字，都懒得敲呀。。。。

isee

此题跟三角形无关。最小值就是-1/2AD²。那么AD=1/2（AB+AC）.OVER.最后玩这个啊啊 ...
敬畏数学 发表于 2017-6-10 16:14

    特别是由 zhcosin 计算结果，这是显然的。。。。

敬畏数学

实在不行猜猜就得到答案。要这么多知识吗？？

isee

回复  isee
就这么几个字，都懒得敲呀。。。。
zhcosin 发表于 2017-6-10 16:40

     好吧，我转述下。

     自顶楼取 BC的中点D后——(by zhcosin)

\begin{align*}
\vv {PA}\cdot (\vv {PB}+\vv {PC})&=2\vv {PA}\cdot \vv {PD}\\
&=PA^2+PD^2-AD^2\\
&\geqslant 2\left(\frac {PA+PD}2\right)^2-AD^2\\
&\geqslant AD^2/2-AD^2\\
&=-\frac 12AD^2
\end{align*}


注，PA之类表平面几何中的线段。
PS:向量转化为三个平方的和差式，也称余弦定理的向量形式。

zhcosin

回复 17# isee
原来你是说要 LaTeX 代码，早说直接给你了。。。。
另外整个文档的 LaTeX 源码可以在这里找到: https://github.com/zhcosin/gaokao-math-questions

isee

回复  isee
原来你是说要 LaTeX 代码，早说直接给你了。。。。
另外整个文档的 LaTeX 源码可以 ...
zhcosin 发表于 2017-6-10 21:52

   

色k

回复 1# isee

可以更顺爽——
\begin{align*}
\vv {PA}\cdot (\vv {PB}+\vv {PC})&=2\vv {PA}\cdot \vv {PD}\\
&=\frac{(\vv{PA}+\vv{PD})^2-(\vv{PA}-\vv{PD})^2}2\\
&\geqslant-\frac12AD^2.
\end{align*}