[函数] 2017江苏14题

乌贼

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2017-6-8 00:08

isee

乌贼 发表于 2017-6-8 00:09

      补个图片版。。。。原来是函数差。。。。

乌贼

回复 1# 乌贼

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2017-6-8 02:42

蓝线能穿过白点或红点吗？是解$\lg(x+n)=x$或$\lg(x+n)=X^2$（n=0，1，2，$\cdots，9$）还是通过代入$ x=\dfrac{n-1}{n} $来验证呢？

kuing

楼主竟然对这题感兴趣，真有点意外

不过这题还是有点意思的，虽然想出答案不难，但是写起过程来还要费点心思。


先证明一个结论：
如果 $r$ 和 $\lg r$ 都为有理数，则 $\lg r$ 必为整数。

设 $r=p/q$, $p$, $q\inN^+$, $(p,q)=1$，
当 $p>q$ 时，设 $\lg r=m/n$, $m$, $n\inN^+$, $(m,n)=1$，则 $p/q=\sqrt[n]{10^m}$，根据这帖2楼的引理，必有 $q=1$, $10^m=p^n$，那么 $p$ 必为 $10$ 的若干次方，设 $p=10^t$, $t\inN^+$，则 $m=tn$，又 $(m,n)=1$，只能 $n=1$，从而必有 $r=10^m$。
当 $p<q$ 时同理可得 $r=10^{-m}$，于是结论得证。

回到原题，对任意 $x\inR$，有 $x=[x]+\{x\}$，由周期性知 $f(x)=f(\{x\})$。

若 $x\inQ$，要使方程成立，则 $\lg x=f(\{x\})=\{x\}^2$ 或者 $=\{x\}$，即 $\lg x$ 必为非负有理数，根据上述结论可知 $\{x\}=0$，从而 $x=1$；

故此，除了 $x=1$ 外，方程的其他解都必定是无理数，由此可见，解析式中的第一条分支是无需考虑的，也就是说将整个函数改成 $f(x)=\{x\}$ 结果也是一样的，这样就成功地转化为常规题，易知有8个解。

乌贼

回复 4# kuing

我只能通过\[ 10^\dfrac{n-1}{n}\ne (\dfrac{n^2+n-1}{n})^n (n=2,3,\cdots,10)\]来判断

kuing

注意上述解法中并未出现(n-1)/n这个式子，只用了它的有理性，也就是说集合D可以改为Q或其任意子集。

isee

真有点意思，才看懂题，哈哈。

isee

考场上只能猜了，哈哈

kuing

继续，扩展一下4楼开头的结论，这些都是现场想现场推的，希望没啥大问题，以前都没玩过这类东西，高手莫见笑。


先再来一个引理：设 $a$, $b$, $m$, $n\inN^+$, $(m,n)=1$，若 $a^m=b^n$，则存在 $z\inN^+$ 使得 $a=z^n$, $b=z^m$。

证明：设 $a$, $b$ 的素数分解分别为 $a=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots$, $b=2^{b_2}3^{b_3}5^{b_5}\cdots$，由 $a^m=b^n$ 及素数分解的唯一性可知 $ma_k=nb_k$, $k=2$, $3$, $5$, \ldots，又 $(m,n)=1$，则 $n\mid a_k$，所以存在 $z\inN^+$ 使得 $a=z^n$，代回去得 $b=z^m$，引理得证。


定理：设 $r$, $a\inQ^+$, $a\ne1$, $m\inZ$, $m\ne0$, $n\inN^+$, $(\abs m,n)=1$，若 $\log_ar=m/n$，则存在 $c\inQ^+$ 使得 $a=c^n$, $r=c^m$。

证明：只需证明 $m>0$ 的情形（因为 $m<0$ 时作置换 $r\to1/r$ 即得）。

令 $a=i/j$, $r=p/q$, $i$, $j$, $p$, $q\inN^+$, $(i,j)=(p,q)=1$，则由 $\log_ar=m/n$ 得
\[\frac pq=\sqrt[n]{\frac{i^m}{j^m}},\]
又是根据这帖2楼的引理得 $i^m=p^n$, $j^m=q^n$，再根据上述引理知存在 $z_1$, $z_2\inN^+$ 使 $i=z_1^n$, $p=z_1^m$, $j=z_2^n$, $q=z_2^m$，令 $c=z_1/z_2$，即得 $a=c^n$, $r=c^m$，定理得证。


推论：设 $a\inQ^+$ 且 $a$ 开二次方以上（含二次）都是无理数，如果 $r$ 和 $\log_a r$ 都为有理数，则 $\log_ar$ 必为整数。


4楼开头的结论就是此推论的特例。

走走看看

回复 3# 乌贼

还有log(x+6)、log(x+7)、log(x+8)、log(x+9)呢？

乌贼

回复 10# 走走看看
不一一罗列

走走看看

回复 11# 乌贼

如果这样的话，已有7个点，总共就不止8个点了。

色k

回复 12# 走走看看

你没看懂他的图，现在画的才四个交点。

其妙

算了，这个帖子不敢喷，喷子们绕道走，

色k

回复 14# 其妙

想喷就喷呗，为啥不敢？

走走看看

自己画图不准，很容易得出9个点，而不是8个点。
不知如何才能在画图不准的前提下，也能得出8个点。
除了1以外，2点多，3点多，一直到8点多都有一个交点，很容易误判9点多还有一个交点，这样就会得到错误答案9个。

走走看看

回复 16# 走走看看


这个问题，刚才想了一下，也许从代数上解决更准。
问题是：f(x)=lgx-(x-9)  ,x ∈[9,10)上是否有零点？

$f'(x)=\frac{1}{x}-1<0$
$f(x)在[9,10)上是单调递减。$
$f(9)=lg9>0,f(10)=1-1=0，$
$所以f(x)在[9,10)上无零点，即lgx与(x-9)无交点，因此不存在第9个交点。$

游客

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2017-11-10 10:09

敬畏数学

回复 18# 游客
这个图画得

kuing

回复 18# 游客

见4楼