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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-10 14:02 编辑

回复 18# 游客


N点不满足条件吧。
lgx在(0,10]区间上,只有lg1、lg10对应有理数,其他都是无理数。
$但1、10不在D上,因此所求的交点只能是lgx与x-a的交点,与x^2无关。$

徒手画图,前8个交点容易确认,到了第9个时,也不会发生怀疑,因此误填9个应该不算过失,谁叫它们很像呢?

如果统一用代数来判定的话,可以设:
$f(x)=lgx-(x-a),x∈[a,a+1),a∈[1,9],a∈N*,$
$f'(x)=\frac{1}{x}-1≤0,x=a=1时取等,$
$所以f(x)单调递减。$
$f(a)=lga≥0,a=1取等,$
$f(a+1)=lg(a+1)-1≤0,a=9时取等。$
$因此可以判断,a∈[1,8]时,在[a,a+1)上各有一个零点,$
$在a∈[9,10)上没有零点。$

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lgx在(0,10]区间上,只有lg1、lg10对应有理数,其他都是无理数。
走走看看 发表于 2017-11-10 12:35

这是错的

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-10 13:05 编辑

回复 22# 色k

$形如lg10^\frac{1}{2}是有理数,这样说来,排除x^2理由不充分。$
我再看看4楼的解释。

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回复 23# 走走看看

4楼写了那么多就是在排除x^2,你们到底有没有看

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回复 24# 色k

不用介意, 好多只是在理解题意。。。。。

不用孤独。。。

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-11 12:52 编辑

回复 25# isee


给一个中学生易理解的通俗解释:
$已知a∈N*,x∈[a,a+1),求证x=a+\frac{n-1}{n}不是方程lgx=(x-a)^2的解。$
$证明:$
$假设lg(a+\frac{n-1}{n})为有理数,将其设为\frac{p}{q},p,q是整数且互质,则有:$
$a+\frac{n-1}{n}=10^\frac{p}{q},$
$即 (a+\frac{n-1}{n})^q=10^p。$
$左边是分式的整数次幂,而右边是10的整数次幂,因此假设不成立,lg(a+\frac{n-1}{n})只能是无理数。$
$右边(x-a)^2=(\frac{n-1}{n})^2是有理数,所以命题成立。$

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回复 26# 走走看看

$其实,n=1,x=a=1时,lgx=(x-a)^2 是成立的。$

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