[几何] 2015宁波镇海向量题

郝酒

在$\triangle ABC$中，$CA=2,CB=6,\angle ACB=60\du$，若点$O$在$\angle ACB$的角平分线上，满足$\vv{OC}=m\vv{OA}+n\vv{OB},m,n\inR$，且$-\frac{1}{4}\leq n \leq -\frac{1}{20}$,则$\bigl|\vv{OC}\bigr|$的取值范围是 _____________.

shidilin

可是$ [\frac{49}{10},\frac{49}{2}] ？$

kuing

回复 2# shidilin

我算得是 $\left[\frac{\sqrt3}4,\frac{3\sqrt3}4\right]$，结果看起来没你的好看……

kuing

就用一下那个FAQ好了
%\(\newcommand\ovs[1]{\overline{\S{#1}}}\)
根据《撸题集》第 1020 页定理 7.1.1，有 $\ovs{OBC}\cdot\vv{OA}+\ovs{OCA}\cdot\vv{OB}+\ovs{OAB}\cdot\vv{OC}=\bm0$，因 $O$ 在 $\angle ACB$ 的角平分线上，必有 $\ovs{OBC}:\ovs{OCA}=BC:CA=3$，从而 $m=3n$。

而 $(1-m-n)\vv{OC}=m\vv{CA}+n\vv{CB}$，即 $(1-4n)\vv{OC}=n\bigl(3\vv{CA}+\vv{CB}\bigr)$，因为 $3CA=CB$ 且 $\angle ACB=60\du$，则 $\bigl|3\vv{CA}+\vv{CB}\bigr|=\sqrt3CB=6\sqrt3$，故由 $-1/4\leqslant n\leqslant -1/20$ 得
\[OC=\frac{6\sqrt3}{4-\frac1n}
\in\left[\frac{\sqrt3}4,\frac{3\sqrt3}4\right].\]

郝酒

谢谢两位，ku版答案是对的。
另外我看到原帖里很多公式被修改了，想知道是自动改的还是人工改的啊？

色k

回复 5# 郝酒

哪有那么智能，是我改嘀，你可以编辑帖子看看我改了哪些

郝酒

渲染前的公式已经看到了：）

shidilin

因为OC是$\angle ACB$的平分线，
故$\vv{CO}=\fracλ2\vv{CA}+\fracλ6\vv{CB}$
然后，将上述中所有的向量，来个“换头手术”，将“头”换成O
“换头”后的做法，就同K版一样了。
老眼昏花，“换头”时，将$\vv{OC}$的系数，整错了。
最后，当然“手术”也就失败了！
KK，竟然还表扬我的比较漂亮！真是……

色k

回复 8# shidilin

你的没根号嘛

走走看看

回复 8# shidilin


    如果不用Kuing的FAQ内容，按常规也能推出m=3n，但步骤较复杂。
    你的步骤是否也是按普通高中生的思路？如果是的话，请给出你的解答，让我观摩观摩。

shidilin

回复 10# 走走看看
向量加法的几何意义啊！这个没有超纲啊！

shidilin

$\vv{CO}=\fracλ2\vv{CA}+\fracλ6\vv{CB}$=$λ(\frac{\vv{CA}}{2}+\frac{\vv{CB}}{6})$

shidilin

因为$\frac{\vv{CA}}{2}$与$\frac{\vv{CB}}{6}$都是单位向量
故$\frac{\vv{CA}}{2}+\frac{\vv{CB}}{6}$是$ \angle ACB $的角平分线

乌贼

回复 10# 走走看看

下载 (20.74 KB)

2017-6-1 15:24

如图：设角平分线交$ AB $于$ E $，在角平分线取一点$ D $，使$ OC=OD $，过$ D $作$ AO $平行线分别交$ AB、OB $于$ P、Q $。有\[ n=\dfrac{OQ}{OB}=\dfrac{AP}{AB} \]在角平分线上取点$ F $使$ BF=BE $连接$ BF $有\[\triangle ACE\sim \triangle BFC\riff \dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AE}{FB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac1{3}\riff \dfrac{AE}{AB}=\dfrac1{4}\]即$ n=\dfrac1{4} $时，$ D、E $点重合，$ \dfrac{CE}2 $就是最大值。
同理：当$ n=\dfrac1{20} $时，$ AP=\dfrac{AE}5 $，此时$ OC=\dfrac{CE}6 $即为最小值。

走走看看

好，明白了，谢谢大家！

敬畏数学

O在∠ACB的角平分线，则CO=k（1/2CA+1/6CB）,
|OC|=|k|根号3；下面将k用n表示即可。
而OC=mOA+nOB=（m+n）OC+mCA+nCB，即（1-m-n）OC=mCA+nCB；
m+n≠1，m/（1-m-n）=k/2，,n/（1-m-n）=k/6，得m=3n，k=6n/（1-4n）（n≠1/4）又-1/4≤n≤-1/20，得-3/4≤k≤-1/4，由开始的|OC|=|k|根号3；易得答案。

敬畏数学

回复 14# 乌贼
纯几何解法有点复古的味道啊!欣赏一下。。。。。。