求教，一道关于可导与连续的关系的证明题

longma

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2017-5-24 15:55

求详细证明过程与格式

kuing

这不是非常显然吗？因为
\[\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x^2-4)\varphi (x)}{x-2}=(x+2)\varphi (x),\]
由连续性知 $\lim_{x\to2}\varphi (x)\to\varphi (2)$，所以
\[\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=4\varphi (2),\]
即 $f'(2)$ 存在且等于 $4\varphi(2)$。