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一道从1997年CMO试题改编而来的极限题目

本帖最后由 zhcosin 于 2017-5-24 10:44 编辑

这是数学专业考研交流群里昨天发的一道题目。
题目:已知非负实数数列$\{a_n\}$对任意两个正整数$n$和$m$都满足$a_{n+m} \leqslant a_n+a_m$,求证:数列$\{\frac{a_n}{n}\}$收敛。
这道题目跟1997年的一道CMO试题的条件一模一样,只是结论不同,题目如下:
1997年CMO试题:已知非负实数数列$\{a_n\}$对任意两个正整数$n$和$m$都满足$a_{n+m} \leqslant a_n+a_m$,求证:对任意$n \geqslant m$都有$a_n \leqslant ma_1+\left( \frac{n}{m}-1\right)a_m$。
由于这个关联性,所以原题目的解答过程参考了后者的思路(《数学奥林匹克》(钱展望,朱华伟,湖北教育出版社))
证明:设$n>m$,有
\begin{align*}
\frac{a_n}{n} - \frac{a_m}{m} < & \frac{a_{n-m}+a_m}{n} - \frac{a_m}{m} \\
= & \frac{n-m}{n} \left( \frac{a_{n-m}}{n-m} - \frac{a_m}{m} \right)
\end{align*}
这有点类似于辗转相除法,如果还有$n-m>m$,则继续上述步骤,经过有限步之后,必然得出
\[ \frac{a_n}{n} - \frac{a_m}{m} \leqslant \frac{s}{n} \left( \frac{a_s}{s} - \frac{a_m}{m} \right) \]
其中正整数$s$满足$1 \leqslant s \leqslant m$,但是这个$s$,一般的说是依赖于$n$的,但是它的取值集合却是有限个,所以右端除去因子$\frac{1}{n}$以外的部分是有界的,所以我们在上式中令$n \to \infty$,便能得出右端在$n \to \infty$时趋于零,这就说明: 对于每一个固定的$m$和任意小的正实数$\delta$,当$n$充分大时恒有
\[ \frac{a_n}{n} \leqslant \frac{a_m}{m} + \delta \]
这便是我们解答问题的关键所在,因为显然还能得出$a_n \leqslant a_{n-1}+a_1 \leqslant (a_{n-2}+a_1)+a_1 \leqslant \cdots \leqslant na_1$,从而$0 \leqslant \frac{a_n}{n} \leqslant a_1$说明数列$\{\frac{a_n}{n}\}$是有上下界的,因此我们只要证明如下这个引理就可以了:
引理: 如果数列$\{ x_n \}$有界,并且对于数列中的每一项$x_m$和任意小的正实数$\delta$,当$n$充分大时恒有$x_n \leqslant x_m+\delta$,那么数列收敛。
证明是很容易的,既然数列有下界,便有下确界,我们将证明这下确界便是其极限,设其下确界为$M$,那么对于无论多么小的正实数$\varepsilon$,存在数列中的某一项$x_m$满足$M \leqslant x_m  < M+\varepsilon$,然而由条件,当$n$充分大时恒有$x_n \leqslant x_m+\delta$,我们让这个$\delta<M+\varepsilon-x_m$,从而这时就有$M \leqslant x_n  < M+\varepsilon$,按极限定义,这下确界$M$便是其极限。
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好像补救不了,此处应该有kk的身影。。。

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本帖最后由 zhcosin 于 2017-5-24 10:27 编辑

好像有办法了,补救了一下,不知还有没有问题。

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必须K神出马了……好久没来论坛了,没想到又复活了。

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回复 4# caijinzhi

楼主不是已经搞定了吗?

确实好久没见你……but, 复活?

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回复  caijinzhi

楼主不是已经搞定了吗?

确实好久没见你……but, 复活?
kuing 发表于 2017-5-29 15:25


应该指的是 部分地区不了论坛,估计目前也是如此。

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说起来,N年前我也曾经撸过一道条件类似的题:http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=500441

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