本帖最后由 hejoseph 于 2017-10-8 21:05 编辑
似乎弄出来了,有个更一般的结论:
设 $n$ 是大于 1 的整数常数,$a_i>0$($i=1,\dots,n$),$s=\sum\limits_{i=1}^na_i$,则
\[
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^na_i^{s-a_i}>1,&n\leqslant 5~时,\\
&\sum_{i=1}^na_i^{s-a_i}\geqslant n\mathrm{e}^{-(n-1)/\mathrm{e}},&n>5~时。
\end{aligned}
\]
前一种情况在其中一个变量等于 1,其余变量无限趋近 0 时无限趋近 1;后一种情况在 $a_i=1/\mathrm{e}$($i=1,\dots,n$)时取得等号。 |