有关对称函数

opuikl_0

考虑如下空间:

2017-5-4 15:02

对任意这个空间里的S, 定义它的对称版本S-hat:

2017-5-4 15:02

（1）证明如下关系式：(这是答案，我不能理解第一行的积分是怎么来的？）

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（2）已知下面的两个关系式：

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要求证明下面的关系式：（这是答案，我看不懂最后一行。。）

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战巡

第一问是个很常用的结论：
令$\phi(x)$为$R^+$上连续的单调函数，$X>0$  $a.s.$，有
\[E(\phi(X))=\phi(0)+\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)\]
证明并不困难
\[\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)=\int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}dF(y)d\phi(x)\]
易证这玩意可积，由Tonelli定理知可交换积分次序
\[=\int_0^{+\infty}\int_0^yd\phi(x)dF(y)=\int_0^{+\infty}(\phi(x)-\phi(0))dF(y)=E(\phi(x))-E(\phi(0))=E(\phi(x))-\phi(0)\]

至于第二问我不知道是什么鬼东西，不同的书用不同的符号，你最好解释清楚再问

opuikl_0

回复 2# 战巡

谢谢！看明白了！