色k

\(\newcommand\arctanh{\text{arctanh}\,}\)
9、令 $g(x)=f(\tanh x)$, $x\in(0,+\infty)$，根据双曲的倍角公式，有
\[g(2x)=f(\tanh2x)=f\left(\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}\right)
=2f(\tanh x)=2g(x),\]
从而 $g(2^nx)=2^ng(x)$, $n\inN^+$，因为 $f(x)>0$，所以 $g(x)>0$，可见 $g(x)$ 必无上界，故 $f(x)=g(\arctanh x)$ 亦无上界，所以 A 正确，B 错误。

至于 C 和 D 的判断，我觉得其实这里才是本题最有意思的地方，
或许有人以为由对任意 $x>0$ 有 $g(2x)=2g(x)$ 会得出 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为正比例函数，但其实这是未必的，下面的函数也符合此条件
\[g(x)=\led
& 2x, && x\in \{2^k\mid k\inZ\},\\
& x, && x\inR^+ ~\text{且}~ x\notin \{2^k\mid k\inZ\},
\endled\]
甚至可以处处不连续不单调
\[g(x)=\led
& 6x, && x~\text{为正有理数},\\
& 9x, && x~\text{为正无理数},
\endled\]
相应的 $f(x)=g(\arctanh x)$ 也就符合原题条件且在 $(0,1)$ 上没有单调性，所以 C 和 D 都错。

色k

回复 3# 游客

那题该怎么理解题意，我连题都读不懂的说