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2017年4月金华函数、动点轨迹问题

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2017-4-27 17:36
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本帖最后由 色k 于 2017-4-28 15:15 编辑

\(\newcommand\arctanh{\text{arctanh}\,}\)
9、令 $g(x)=f(\tanh x)$, $x\in(0,+\infty)$,根据双曲的倍角公式,有
\[g(2x)=f(\tanh2x)=f\left(\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}\right)
=2f(\tanh x)=2g(x),\]
从而 $g(2^nx)=2^ng(x)$, $n\inN^+$,因为 $f(x)>0$,所以 $g(x)>0$,可见 $g(x)$ 必无上界,故 $f(x)=g(\arctanh x)$ 亦无上界,所以 A 正确,B 错误。

至于 C 和 D 的判断,我觉得其实这里才是本题最有意思的地方,
或许有人以为由对任意 $x>0$ 有 $g(2x)=2g(x)$ 会得出 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为正比例函数,但其实这是未必的,下面的函数也符合此条件
\[g(x)=\led
& 2x, && x\in \{2^k\mid k\inZ\},\\
& x, && x\inR^+ ~\text{且}~ x\notin \{2^k\mid k\inZ\},
\endled\]
甚至可以处处不连续不单调
\[g(x)=\led
& 6x, && x~\text{为正有理数},\\
& 9x, && x~\text{为正无理数},
\endled\]
相应的 $f(x)=g(\arctanh x)$ 也就符合原题条件且在 $(0,1)$ 上没有单调性,所以 C 和 D 都错。
这名字我喜欢

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直线D1P与平面ABCD所成角为60度,应该是椭圆吧。

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回复 3# 游客

那题该怎么理解题意,我连题都读不懂的说

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Ex10 的解法,3楼的意思大概是:平面A1C1D 斜截圆锥……

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本帖最后由 游客 于 2017-5-2 08:44 编辑

未命名.PNG
2017-5-2 08:39


把正方体改成四棱柱,让∠D1DO1等于30度,那该是抛物线了吧;
但是,“用不同平面去截圆锥面得不同圆锥曲线”这个知识点已经不在高中课本了呀。

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本帖最后由 zhcosin 于 2018-3-9 13:25 编辑

这里讨论下函数方程
\[ g(2x)=2g(x) \]
kk 在2楼已经指明了它并不一定是正比例函数并给出了反例,此处讨论添加何种条件后,正比例函数会是唯一解。

把函数的定义域扩展为 $\mathbb{R}$,并作代换
\[ g(x)=xf(x) \]
这里规定$f(0)=0$,那么函数$f(x)$满足
\[ f(2x)=f(x) \]
现在加条件:函数$g(x)$在$x=0$处可导,函数就只有正比例函数这唯一解了,因为$g(x)$在$x=0$处可导,等价于$f(x)$在$x=0$处连续,这就是以下的问题:

问题 设定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $f(x)$,对于任意 $x \in \mathbb{R}$都成立 $f(2x)=f(x)$,问该函数是否是常数函数?

解答 首先易知 $f(0)=0$,并且对于任意实数$x$和任意正整数$n$,有
  \[ f(x) = f \left( \frac{x}{2^n} \right) \]
  由函数$f(x)$在$x=0$处的连续性,$\forall \varepsilon>0$,$\exists \delta>0$,使得当$|x|<\delta$时,恒有$|f(x)|<\varepsilon$.

  任取两个不相等的实数$x$和$y$,对于上述$\delta$,必然当正整数$n$充分大时有
  \[ \left| \frac{x}{2^n} \right| < \delta, \  \left| \frac{y}{2^n} \right| < \delta \]
  因此有
  \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) \right| < \varepsilon, \  \left| f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < \varepsilon \]
  从而
  \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) - f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < 2\varepsilon \]
  即
  \[ |f(x)-f(y)| < 2\varepsilon \]
  由 $\varepsilon$的任意性,有$f(x)=f(y)$,因此函数是常数函数,并且由过程可知,函数其实保证在 $x=0$ 处连续就能保证是常数函数了。

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回复 7# zhcosin
奶奶的,直接在
\[ f(x)=f \left( \frac{x}{2^n} \right) \]
中令$n \to \infty$就得$f(x)=f(0)$,所以是常数函数就完事了。。。。

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那就干脆不作换元了,加条件:$g'(0)$ 存在。

由 $g(2x)=2g(x)$ 易知 $g(0)=0$ 且对任意整数 $n$ 有 $g(x)=2^ng(x/2^n)$,所以当 $x\ne0$ 时
\[\frac {g(x)}x=\frac {2^n}xg\left( \frac x{2^n} \right)=\frac {g\left( \frac x{2^n} \right)-g(0)}{\frac x{2^n}-0},\]
因为 $g'(0)$ 存在,所以
\[\lim _{n\to\infty }\frac {g\left( \frac x{2^n} \right)-g(0)}{\frac x{2^n}-0}=g'(0),\]
从而
\[g(x)=g'(0)x.\]
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-13 23:32 编辑

9题的答案有两派意见:一派是A,另一派是B。
觉得两派意见都有理,不知该如何取舍。
抽象函数.PNG
2018-3-13 23:32

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回复 10# 走走看看

这些解析全是错的。

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回复 11# kuing


知道了,但高中老师对学生的解释也只能按照类似于这样的方式。

另外,7楼、8楼论证说f(x)是常数函数,恐怕不成立,因为除了0满足0=2*0,其他任何常数都不会满足k=2k,也就不满足题设条件了。

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回复 12# 走走看看


    你显然没有仔细看七八楼。

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这么复杂的题是考博士生吗?

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回复 14# 敬畏数学


这么复杂的东西,构造不出一个符合条件的f(x),让人干着急。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-11 15:40 编辑

回复 15# 走走看看

还有更绕的:
$定义在(1,+∞)上的函数f(x)满足两个条件:(1)对任意的x∈(1,+∞)恒有f(2x)=2f(x)成立;$
$(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x;记函数g(x)=f(x)-k(x-1),若函数g(x)恰有两个零点,则实数k的取值范围是(  )$
$A.[1,2)        B.[\frac{4}{3},2]        C.[\frac{4}{3} ,2)        D.( \frac{4}{3},2)$

https://www.zybang.com/question/ ... 10ff0ca70d86e8.html
http://www.mofangge.com/html/qDe ... vuq1g102621558.html

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回复 16# 走走看看

更绕?这个很简单啊,因为提供了部分解析式,于是整个图很容易就画出来,和1楼的根本不是一个级别的题。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-13 23:37 编辑

回复 17# kuing

$1楼的题,是有点怪,有点鬼。x→0时,2f(0)=f(0),f(0)→0;而x→1时,2f(1)=f(1),f(1)→0。x在中间时,情况变化不定。$

发现10楼录错了一个东西,原文是“x→1时,f(1)→∞”,本人按自己的理解把“∞”替换成了“0”,现在改了回去。

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