免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[函数] 2010全国大纲卷Ⅱ的第22题 导数题

本帖最后由 走走看看 于 2021-5-22 09:24 编辑

导数题.PNG
2017-4-27 12:23

第二小题,网上公布的资料,分a<0、0≤a≤1/2、a>1/2。
想把a分离出来,按这种方式做出的答案不对。
是不是不可以分离出来呢?不能分离的原因是什么?
如果必须进行分类讨论,那如何确定分界点是1/2而不是1呢?
1看起来更好看啊。

请赐教!
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

分界点是1/2是因为由泰勒展开得 $(ax+1)(1-e^{-x})=x+(a-1/2)x^2+o(x^2)$

TOP

至于分离,首先,如果说分离做出的答案不对,这一定是你做的过程出了差错,因为一种方法如果可行,就会做对,如果不可行的,就做不出任何结果,而不会做出错误的答案。

事实上,这题分离是可行的,简略过程为先排除 $a<0$,当 $a\ge0$ 时变形为
\[a\le\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x=g(x),\]
通过证明 $e^x+e^{-x}\ge x^2+2$ 可得 $g(x)$ 递增,最后求极限得 $x\to0$ 时 $g(x)\to1/2$,就完结了。

TOP

请问g(x)在0处的极限怎么求?我原以为是0。

TOP

回复 4# 走走看看

通分后洛必达两次即可。
或者用泰勒也行。

TOP

非常好!
谢谢两位!

TOP

写一下泰勒的:
\[\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x
=\frac1{x-\frac{x^2}2+o(x^2)}-\frac1x
=\frac{x^2+o(x^2)}{2x^2-x^3+xo(x^2)}
=\frac{1+\frac{o(x^2)}{x^2}}{2-x+\frac{o(x^2)}x},\]
所以
\[\lim_{x\to0}\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x=\frac12.\]
这名字我喜欢

TOP

非常好!
谢谢两位!
走走看看 发表于 2017-4-27 21:34


色k牛!
kuing牛!

参考答案:
5blog图片.jpg
2017-5-4 14:26

6blog图片.jpg
2017-5-4 14:26

7blog图片.jpg
2017-5-4 14:26
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

TOP

本帖最后由 走走看看 于 2017-10-2 11:41 编辑

楼上所给的答案是标准答案,很规范。不过在实际答题时很难想到。

找到了几个按通性通法给出的答案,供需要者参考。


https://wenku.baidu.com/view/457ee0b1f46527d3250ce052.html
https://wenku.baidu.com/view/470b292758fb770bf78a554c.html

第一个链接中的(2)2-1/a≤0,只能得出 0<a≤12 ,忘了讨论a=0的情况。
第二个链接中的 “ (2) 1'当a>0时,易知f(x)≥0(x≥0)恒成立”笔误,应是a<0。

TOP

本帖最后由 走走看看 于 2017-10-2 12:14 编辑

还有第三个链接:
https://wenku.baidu.com/view/3e8e2211783e0912a3162a19.html

奇怪了,以前曾搜索过,这些链接都没有。

今天早上做这道曾做过的题,还是在(2)上遇到了问题,不可思议。

TOP

此题有人拿满分,有点汗颜啊!

TOP

回复 11# 敬畏数学
扑通(budong)大侠说的意思

TOP

本帖最后由 走走看看 于 2017-10-16 22:12 编辑

第一道题有不少人采用分析与综合相结合的办法。

刚才,我用g(x)=f(x)(x+1)-x,很快得证。
又换了一种方法,直接用f(x)-x/(x+1)≥0却证不出来,真出鬼!

TOP

回复 13# 走走看看


    很正常,导数不好处理时,就需要不停的改造题目。

TOP

返回列表 回复 发帖