[函数] 一道对数指数的含参不等式问题

本帖最后由敬畏数学于 2017-12-27 10:55 编辑

对任意的$x>0,me^{mx}≥lnx$恒成立，则正实数m的范围？

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2^#

发表于 2017-4-25 09:19 | 只看该作者

发现m=1/e恰好相切，所以这就是最小值

3^#

发表于 2017-4-25 11:49 | 只看该作者

回复 2# 色k
需要强大的眼力啊。

4^#

发表于 2017-4-25 14:12 | 只看该作者

回复 3# 敬畏数学

这题一看就知道要靠观察，因为从形式上看，又指数又对数，m还无法分离，超越感极强！
故此，这题既然敢这么出，必然是有特殊解的，所以就应该去观察，试一些特殊值。
试的时候自然也会考虑跟 e 有关的东西，那么几下就试出来了，并不需要多强的眼力。

5^#

发表于 2017-4-25 15:45 | 只看该作者

回复 4# kuing

6^#

发表于 2017-12-12 20:40 | 只看该作者

本帖最后由敬畏数学于 2017-12-27 10:54 编辑

两边乘以$x$,右边变为$(lnx)e^{lnx}$.函数$f(x)=xe^x$在$x>0$为增函数。即$mx>lnx,x>1$恒成立。