免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

指数分布,伽马分布

$T_1, T_2, ..., T_n$ 是服从指数分布的独立随机变量,有参数 $\lambda$. 证明:$$P(\sum _{ i=1 }^{ \infty  }{ { T }_{ i } <\infty } )=0,$$ 并解释它的含义.

提示:计算 $E[{ e }^{ -\sum _{ i=1 }^{ \infty  }{ { T }_{ i } }  }]$.

已经证明了指数随机变量的和服从伽马分布 (gamma distribution), 该如何进一步证明上面的关系式呢?
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

本帖最后由 战巡 于 2017-4-20 02:28 编辑

回复 1# opuikl_0


没必要按提示做啊
随便选定一个数,比如就$\lambda>0$好了,令事件$A_i=\{T_i>\lambda\}$有
\[P(A_i)=P(T_i>\lambda)=\int_\lambda^{+\infty}\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx=\frac{1}{e}>0\]
于是有
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{e}=+\infty\]
这里由于$T_i$全部独立,$A_i$事件也都是独立的,由Borel-Cantelli引理可知,有
\[P(\limsup_n A_n)=1\]
也就是说事件$A_n$发生的次数为无穷次的概率为$1$,即$T_i>\lambda$的次数为无穷次几乎必然发生,因此
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i=\infty)=1\]
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i<\infty)=0\]

TOP

本帖最后由 战巡 于 2017-4-20 02:23 编辑

回复 1# opuikl_0

附:Borel-Cantelli引理:
令$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$为一个事件序列
1、若
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)<\infty\]

\[P(\limsup_n A_n)=0\]

2、若$A_n$全部为独立事件且
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\infty\]

\[P(\limsup_n A_n)=1\]

注意这里面$\limsup_n A_n$也可写作$A_n i.o.$,i.o.为infinitly often,发生无穷多次

此引理的第一部分对其他测度也成立,不一定非要是概率测度

TOP

回复 2# 战巡

多谢!

TOP

返回列表 回复 发帖