求助一道解PDE的题

opuikl_0

解PDE:
$$u_t+\frac{1}{2}\sigma^2u_{xx}=0$$
$$u(T,x)=x^2$$
$\sigma$是常数

abababa

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其实就是热方程吧，都有现成的公式能套用。解是积分形式的。
\[u(x,t)=\frac{1}{\sqrt {4\pi kt}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\frac {(x-y)^2}{4kt})y^2dy\]
$k$就是那个$-\frac{1}{2}\sigma^2$

opuikl_0

回复 2# abababa

能不能写下关键性的步骤？

opuikl_0

回复 2# abababa

翻了下以前笔记，学过.... 是用傅里叶级数来做的，答案是级数形式的不是积分....

abababa

回复 4# opuikl_0

我知道的不多，觉得这些问题有大部分是没有解析解的，只能算算数值解，对这部分也就知道几个常用的公式，其它的我就不懂了。可能数学物理方程的书里都能有更详细的介绍，楼主再去查查。

Infinity

与常微分方程不同，偏微分方程几乎没有“通解”一说，这是因为偏微分方程多出来的维度导致在定解条件上比一维情形多出无穷多个可能性。换句话说，特征值不再是常数而是函数，那么定解的系数 $C$ 也不再是常数而是函数。这意味着，即使是同一偏微分方程，不同的定解条件（初边值）将会给出完全不同形式的解。

这一点从物理经验上也不难理解，比如向一个池塘中心丢一颗石子，会产生时间变化的涟漪。假设同时向不同形状的池塘同一位置丢石子，这些池塘的涟漪随时空演化会完全不同；不仅如此，若是同一池塘，但石子投掷位置各不相同，得到的涟漪时空演化也各不相同。

2楼给出的是格林函数方法的解，因为你给的条件是初始条件。一般来说，边值问题（即有限区间内）适合无穷级数解，初值问题（无穷区间）适合无穷积分解。

具体推导细节参见以下链接中82~90页
https://wenku.baidu.com/view/70d15e91f524ccbff0218405.html

hbghlyj

这份讲义的第34页有1维热方程的推导:

下载 (37.16 KB)

2022-2-13 01:28

这里有一个3b1b做的视频,它是这个系列的第3集.
参见这帖
参见Mathematica文档:求解热传导方程的初值问题

Czhang271828

量纲分析先啦: 将函数同埋自变量去量纲化, 改写方程. 咁, 之后呐, 将 PDE 换作关于某无量纲量的常微分方程, 孻尾根据初值求解.

下底是我古早时阵亓功课, 彼摆 PDE 佮 Fourier 拢知无...

The diffusion equation $u_t=Du_{xx}$ can be nondimensionalized via the scaling parameters $L$ and $T$,
$$
T^{-1}\dfrac{\partial u^*}{\partial t^*}=DL^{-2}\dfrac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}}
$$
Hence we can naturally introduce quantity $C:=\dfrac{L}{\sqrt{DT}}$. The PDE can be rewritten as
$$
C^2\dfrac{\partial u^*}{\partial t^*}=\dfrac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}}
$$
For simplicity, we write $u$, $t$ and $x$ instead of $u^*$, $t^*$ and $x^*$. Let $c$ denotes $\dfrac{x}{\sqrt{Dt}}$,
$$
\left\{\begin{align*}
\dfrac{\partial u}{\partial x}\,\,&=\dfrac{\partial u}{\partial c}\cdot\dfrac{\partial c}{\partial x}\\
\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=\dfrac{1}{Dt}\cdot\dfrac{\partial^2 u}{\partial c^2}\\
\dfrac{\partial u}{\partial t}\,\,&=-\dfrac{x}{2\sqrt D\sqrt t^3}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial c}\\
\end{align*}\right.
$$
The equation $C^2\dfrac{\partial u^*}{\partial t^*}=\dfrac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}}$ becomes:
$$
u_c=-\dfrac{2}{c}u_{cc}
$$
Hence
$$
u(x,t)=u_0+(u_\infty-u_0)\cdot\dfrac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{x/2\sqrt{Dt}}e^{-s^2}\mathrm ds
$$
where $u_0:=u|_{c=0}$, $u_\infty:=u|_{c=\infty}$.