[几何] 以$z_1,z_2,z_3$为顶点的三角形是正三角

isee

已知$z_1,z_2,z_3$三个不同的复数满足$z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_1z_3-z_2z_3=0$.
求证：以$z_1,z_2,z_3$为顶点的三角形是正三角.

PS：2008年kuing已经撸过了，旧帖重开，逆命题亦成立。

abababa

这题我见网友做过一般情况，就是相似的。
若相似，则$\frac{\abs{z_3-z_1}}{\abs{z_2-z_1}}=\frac{\abs{w_3-w_1}}{\abs{w_2-w_1}}$且$\arg(z_3-z_1)-\arg(z_2-z_1)=\arg(w_3-w_1)-\arg(w_2-w_1)$，即$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{w_3-w_1}{w_2-w_1}$，于是$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
z_1 & z_2 & z_3\\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}=0$，即为相似的充要条件。
现在取$w_1=1,w_2=\sqrt{3},w_3=-1$，容易解出$z_1=\frac{2z_2-z_3+\sqrt{3}z_3}{\sqrt{3}+1}$，再代入$f(z_1,z_2,z_3)=0$的那个等式，得到$\frac{3(z_2-z_3)^2}{\sqrt{3}+2}=0$，就得到$z_2=z_3$，再代回就得到是正三角形了。

kuing

回复 2# abababa

由“现在取”开始看不懂

abababa

回复 3# kuing

其实就是想让$\triangle z_1z_2z_3$和$\triangle w_1w_2w_3$相似，而取的值表明$\triangle w_1w_2w_3$是正三角形，我后来觉得可能推理的顺序上有问题，一时还没想到怎么改。

kuing

回复 4# abababa

意思我知道，但是你取的三个 w 根本不是三角形啊

kuing

回复 4# abababa

我帮你改吧，取 $w_1=\sqrt3i$, $w_2=-1$, $w_3=1$，代入化简得
\[z_2+z_3-2z_1-\sqrt3i(z_2-z_3)=0,\]
所以
\[(z_2+z_3-2z_1)^2+3(z_2-z_3)^2=0,\]
展开就是 $z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_1z_3-z_2z_3=0$ 了。

abababa

回复 5# kuing

哦，对了，我忘了$w_2$在虚轴上

kuing

也可以直接写成
\[z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_1z_3-z_2z_3
=\frac14\begin{vmatrix}  
1 & 1 & 1\\  
z_1 & z_2 & z_3\\  
\sqrt3i & -1 & 1  
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}  
1 & 1 & 1\\  
z_1 & z_2 & z_3\\  
-\sqrt3i & -1 & 1  
\end{vmatrix},\]
所以……

abababa

回复 6# kuing

谢谢，这样一改看起来更顺畅了。

isee

你们又用高数。。。。

isee

我到是想把把z1-z2之类的差当主元，解出来。。。。

色k

你们又用高数。。。。
isee 发表于 2017-3-25 22:13

这哪里是高数啊，只是用了复数的一些基本性质，至于那行列式不过是让公式变得更好看而已

其妙

回复 1# isee
kuing神怎么撸的？求链接

kuing

回复 13# 其妙

自然是在《撸题集》中，自己搜去

游客

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2017-3-27 09:24

isee

游客 发表于 2017-3-27 09:24

    其实也是不是旧帖(本论坛没有)，只是陈题了。

    重新提出就是想表达复数的乘法几何意义。。。。。

isee

不换元的话，这么写，$z_1-z_2$看作是主元，解出……
\begin{align*}
z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_1z_3-z_2z_3
&=(z_1-z_2)^2+(z_3-z_2)(z_3-z_1)\\
&=(z_1-z_2)^2+(z_3-z_1+z_1-z_2)(z_3-z_1)\\
&=(z_1-z_2)^2+(z_3-z_1)(z_1-z_2)+(z_3-z_1)^2\\
\end{align*}

isee

回复  isee
kuing神怎么撸的？求链接
其妙 发表于 2017-3-26 22:34

    kuing当年与15楼，先配方，换元成 $a^2+b^2+(a+b)^2=0\Rightarrow \left(\dfrac ab\right)^2+1+\left(\dfrac ab+1\right)^2=0$.

    具体见 1011页

其妙

回复 18# isee
谢谢！看到了，能否用此定理证明拿破仑定理？

其妙

再来一问：能否用此定理证明拿破仑定理和莫雷定理？
莫雷定理(1904年):
三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点,是一个等边三角形的顶点。